Основы теплопередачи - Крейт Ф.
Скачать (прямая ссылка):
P (х)= Q(xy t)/Qo — решение для бесконечной пластины, (рис. 3.6а и 3.66);
С{г)= 8 (г, /)/9о — решение для цилиндра бесконечной длины (рис. 3.7а и 3.76).
Применяя решения одномерных задач для двумерных и трехмерных тел, можно решить много задач нестационарной теплопроводности.
Пример 3.6. Цилиндр диаметром 10 см и длиной 16 см (k = 0,5 Вт/(м X X град) и а = 5-Ю*-7 м2/с) имеет вначале постоянную температуру 2O0C. Его помещают в печь с температурой воздуха 5000C и Нс = 30 Вт/(м2-град). Найти минимальную и максимальную температуры в цилиндре после 30-минутной выдержки его в печи.
Решение. Число Био, рассчитанное по радиусу цилиндра, равно
пі Vo _ 30-0,05 __ОА
Bi—%---0^--3A
Следовательно, задачу нельзя решить упрощенным методом в предположении о пренебрежимо малом внутреннем термическом сопротивлении, и требуется применить решение в виде диаграмм.
Данные, приведенные в табл. 3.2, показывают, что распределение температуры в цилиндре конечной длины можно найти как произведение решений для бесконечной пластины и цилиндра бесконечной длины. В любой момент времени минимальная температура достигается в точке х = 0, г = 0, а максимальная — на окружностях х = ±L, г = г0. Сводка результатов расчета представлена в следующих таблицах.
_____Бесконечная пластина_
Fo«-4 Bi"1« (Рис. 3.6а) (Рис. 3.6а, 3,66)
^ЩГ •30?-0'21 °'*> 0,900,27=0,243
«0,14
Бесконечно длинный цилиндр
Bi-'-jL C(O)=A С(г0)=%? (Рис. 3.7а) (Рис. 3.7а, 3.76)
«0,36_
Минимальная температура цилиндра равна
- = P (0) С (0) = 0,90. 0,47 = 0,423,
вмин
во
Гмин = 0,423 (20 - 500) + 500 = 2970C
154 Глава З
Максимальная температура цилиндра равна
8,
-^- = P (L)C (г0) = 0,243 . 0,155 = 0,0377, Тмакс = 0,0377 (20 - 500) + 500 = 4820C
3.5. ЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Явный метод
Методика численного решения задач нестационарной теплопроводности аналогична описанной в разд. 2.7 методике решения задач стационарной теплопроводности. Вначале твердое тело делят на ряд ячеек. В центре каждой ячейки помещают воображаемый узел. Записывая баланс энергии для каждого узла, получают алгебраическое уравнение, выражающее температуру в рассматриваемом узле через температуры в соседних узлах, геометрические характеристики и теплофизические свойства материала. При решении нестационарных задач для каждого узла нужно дополнительно учесть аккумулирование энергии в материале. Эта аккумулированная энергия представляет собой возрастание внутренней энергии в узле, которое определяется термодинамической характеристикой материала, называемой удельной теплоемкостью с.
Рассмотрим сначала одномерную задачу для внутреннего узла (рис. 3.10). В дальнейшем можно обобщить этот анализ для двумерных и трехмерных задач. Закон сохранения энергии для узла 0, расположенного между узлами 1 и 2, при отсутствий внутреннего тепловыделения можно выразить в виде
Рис. ЗЛО. Расположение узлов внутри твердого тела (одномерная задача).
2
_/Скорость изменения внутренней\
^ энергии в узле 0 по времени /
(3.23)
Соотношение (3.23) аналогично соотношению (2.93) с той лишь разницей, что в нестационарной задаче учитывается скорость изменения внутренней энергии. В стационарной задаче изменение внутренней энергии равно нулю.
Нестационарная теплопроводность 155
Используя принятые обозначения, перепишем соотношение (3.^3) в виде
flWo + fc+o = ^. (3-24)
где U0--внутренняя энергия в узле 0.
Кондуктивные члены в соотношении (3.24) можно выразить с помощью конечно-разностной формы закона Фурье:
T ^_T^
?1->о ~Ы 'л* °>
^^kA^i~- (3.25)
Верхний индекс t в этих членах означает, что температуры должны рассчитываться в момент времени /. Нижние индексы отражают положение узлов. Следовательно, они определяют изменение температуры по пространству, или по х, а верхние индексы — изменение температуры по времени.
Изменение внутренней энергии в узле 0 в предположении, что плотность и удельная теплоемкость материала постоянны, выражается соотношением
duQ ДГл тІ+м^ті
Подставляя соотношения (3.25) и (3.26) в уравнение (3.24), по-лучаем уравнение энергии для узла 0:
rpt rpt *pt •pt *pt-\-?t rpt
Разрешая это уравнение относительно Го+л', получаем
Tl+^ = Fo (Tl + Tt) + [1 - 2Fo] Ti (3.27)
где число Фурье определяется в виде Fo = а(Д/)/(Дх)2. Выражение (3.27) показывает, что температуру в момент времени t-\-At в произвольном внутреннем узле О можно рассчитать, зная текущие температуры в момент времени t в узле О и соседних узлах. Для всех внутренних узлов можно записать уравнения, аналогичные (3.27), получая в итоге систему алгебраических уравнений для температур в п соседних узлах. Каждое из этих уравнений энергии в явном виде определяет температуру рассматриваемого узла в будущий момент времени; поэтому такой способ численного решения называется явным методом. Кроме того, этот метод называется методом с использованием
156 Глава З
правых производных, поскольку производная по времени аппроксимируется разностью, направленной вперед по времени:
