Основы теплопередачи - Крейт Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Узел Численное Точное
X см решение решение
1 •0 157,8 158,7
2 4 181,9 182,2
3 8 194,5 ,194,2
4 12 198,9 198,6
$ 16 199,9 199,8
Графическая интерпретация численного метода
Можно получить довольно простое графическое решение за* Дач нестационарной теплопроводности, если выбрать величину числа Фурье 0,5. При Fo = 0,5 разностное уравнение для внутреннего узла( 3.27) упрощается и принимает вид
7о+АГ*= 0,8(71 +Ja) (3.33)
Это соотношение показывает, что будущая температура во внутреннем узле равна среднеарифметическому значению текущих температур в двух соседних узлах. На рис. 3.12 иллюстрируется
Нестационарная теплопроводность 163
процесс графического определения будущей температуры во внутреннем узле с помощью соотношения (3.33). Температуру в узле 0 в момент времени / -f А/ находим, соединяя точки ТІ и ТІ прямой линией.
Описанное графическое построение поля температур называется методом Биндера — Шмидта. Недостатком этого метода является то, что могут получаться одни и те же значения температур в узлах для двух последовательных моментов времени. Такая физически неправильная картина обусловлена необходимостью выбора числа Фурье, точно равного критерию
Рис. 3.12. Определение будущей температуры во внутреннем узле методом Биндера — Шмидта.
устойчивости Fo = 0,5. Были предложены модификации графического метода Биндера — Шмидта, в которых использовались значения числа Фурье, отличные от 0,5 [8]. В этих усовершенствованных методах применяется более сложное геометрическое построение, но они приводят к более точным результатам расчета изменения температуры по времени. J
Метод Биндера — Шмидта применяется только для одномерных задач. Он позволяет получить решение для составных стенок и при наличии конвективного теплообмена на поверхности твердого тела. Более подробно этот способ решения описан в работе [9]. Хотя применимость и точность графического метода ограничены, он прост и позволяет визуально следить за изменением распределения температуры по времени. Рассмотрим пример использования этого метода.
*-,
Пример 3.8. Большая плита толщиной 30 см имеет коэффициент температуропроводности 5•1O-5 м2/с. Вначале плита имеет постоянную температуру O0C. Обе поверхности плиты внезапно вступают в тепловой контакт с твердым телом, имеющим температуру 500°С. Найти изменение распределения температуры плиты по времени в течение первых 100 с контакта с нагретым твердым телом.
6*
164 Глава З
Решение. Нарисуем сечение плиты в масштабе и разделим его на шесть равных частей. В результате получим семь узлов, отстоящих друг от друга на 5 см. По оси ординат отложим температуру от начального значения 00C до максимальной величины 500°С, как показано на рисунке.
Узел 2
400
U
о
300
200
100
К1
- \\ Jl Ti
-
1I
Узел 5 Узел 6 Узел 7
ті TL
'Tl ,Tl
ті I
(Is (
0 5 10. 15 20 25 30
X1 CM
К примеру 3.8.
Величина шага по времени определяется выбором числа Фурье:
a M
или
Af =
Fo = 0,5 = (А*)2
(Aa:)2 в (0,05)2
2а
2(5-10-5)
25 с.
Теперь последовательно применяем метод Биндера — Шмидта, как показано на рисунке, определяя графически температуру в каждом узле. Символом Т\ обозначена температура в узле 3 в момент времени 2М = 50 с. По истечении 100 с температуры в узлах 1—4 принимают следующие значения: Ti = 500°С, T2 = 3120C, T3 = 2180C, T4 = 125°С.
Неявный метод
Основной недостаток явного численного метода состоит в том, что разностное уравнение баланса энергии для каждого узла должно удовлетворять критерию устойчивости. Чтобы удовлетворить этому критерию, часто приходится выбирать очень малый шаг по времени, а это приводит к возрастанию объема рас*
Нестационарная теплопроводность 165
четов. В настоящем разделе описан несколько иной численный метод, который устойчив при любых значениях чисел Био и Фурье.
Рассмотрим внутренний узел в двумерном теле (рис. 3.10). Явной4 формой разностного уравнения баланса энергии для этого случая является соотношение (3.27). Если уравнение баланса энергии, на основании которого получено соотношение (3.27), модифицировать и выразить через температуры в момент времени t + At9 то получим это уравнение для узла 0 в виде
Tt+&t Tt+At Tt+M Tt+M Tt+&t Tt
M ' Z' Z'
Преобразуя полученное уравнение и применяя число Фурье, находим
[1 + 2Fo] Г0+Л' - Fo (г[+А* + Tl+At) — Го = 0, (3.34)
где, как обычно, Fo = a (At)/(Ax)2. Если разностное уравнение баланса энергии записать в этой форме, то можно видеть, что температура T(t + At) во внутреннем узле зависит от температур в момент времени t + At в соседних узлах, каждая из которых неизвестна. Следовательно, нужно записать разностные уравнения баланса энергии для всех узлов и решить их одновременно, получая в результате распределение температуры в твердом теле. Этот метод решения называют неявным методом в отличие от явного метода, при использовании которого можно, решая по отдельности разностные уравнения баланса энергии для каждого узла, найти в явном виде местную температуру. Этот метод называют также методом с использованием левых производных, поскольку производная по времени аппроксимируется разностью, направленной назад по времени.
