Основы теплопередачи - Крейт Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Неявный численный метод устойчив при всех величинах шагов по пространству и времени. Однако чем мельче шаги, тем точнее значения температур, поскольку уменьшаются ошибки аппроксимации производных конечными разностями.
Существенное преимущество неявного метода — отсутствие критерия устойчивости; его недостаток — необходимость решения системы алгебраических уравнений. При большом числе уравнений полезно применить в расчетах на ЭВМ методы релаксации или методы обращения матрицы.
Мы рассмотрели здесь явный и неявный разностные методы. В работах [10, 11] применяется конечная разность, представляющая собой среднеарифметическое значение левой и правой разностей. Еще более общий метод получается при аппроксимации производной температуры по времени средневзвешенным знзч^вдеад левой и правой разностей [11]. В работав
«Неявные» разностные уравнения баланса энергии для некоторых задач
Таблица 3.5
Рассматриваемый случай Схема Разностное уравнение
Одномерная задача, внутренний узел
4 Двумерная задача, внутренний узел, квадратная ячейка
, Трехмерная задача, внутренний узел, кубическая ячейка
Одномерная задача, граничный узел, конвекция на границе
о4=< і і о
2
Окружающая среда
Ас» Тт
[i+2{FoXi+W]Tbt+"-2(]Po)[Tlt*»+(fii)TlJ+"]-^-V-O
Двумерная задача, граничный узел, конвекция на границе
Двумерная задача, внешний угол, граничный узел, конвекция на границе
Окружающая среда
Ax Окружающая 2 среда
Ax
2
[1 +2(Fo)(2+Bi)]r0*+A'-2(Fo)
2 ' 2
[1 +4(Fo)(I +Bi)]r0'+A'-4(Fo)
Г Tf
+(ВІ)Г^+д*]~Г0*-0
Двумерная задача, внутренний угол, граничный узел, конвекция на границе
Окружающая среда
hc, Тс
[l+4(Fo)(l+»)]r0--^[^
+ r/+A>+ г3'+Ач (Bi)T00*+**] - ту=о
4
168 Глава З
[12—14] применяются «шахматные» методы («Hopscotch те-thods»), являющиеся комбинацией явного и неявного методов.
«Неявные» уравнения баланса энергии для граничных узлов выводятся аналогично «явным» с той лишь разницей, что текущее значение температуры в узле заменяется значением в момент времени / + Af. Рассмотрим, например, граничный узел О, расположенный на поверхности одномерного твердого тела, на которой происходит конвективный теплообмен с жидкостью, имеющей температуру T00. Коэффициент конвективной теплоотдачи равен Hc1 геометрия задачи показана на рис. 3.11. Баланс энергии для граничного узла записывается следующим образом:
Tt+At Tt+M
Ax
рА Ахс Tf0+At-Tl
At
(3.35)
Сравнивая соотношения (3.28) и (3.35), можно видеть различие между уравнениями баланса энергии, используемыми в явной и неявной схемах. Преобразуя соотношение (3.35), получаем
[1 + 2Fo (1 + Bi)] Tl+At - 2Fo [r{+Af + Bi 7І+Л'] — Го = 0. (3.36)
Можно вывести разностные уравнения баланса энергии для граничных узлов с другими граничными условиями для тел другой формы. Сводка этих уравнений представлена в табл. 3.5.
После того как записаны и преобразованы уравнения баланса энергии для всех узлов, нужно решить систему п уравнений для п узлов и найти температуры во всех узлах. Методика решения показана на следующих двух примерах. Оба примера решены с помощью программы численного расчета, использующей метод обращения матрицы. В примере 3.9 рассматривается одномерная задача, в примере 3.10 — двумерная. Как и прежде, программа численного расчета написана в общей форме, чтобы ее можно было применить для решения неявным методом широкого класса задач.
Мы приводим в этой главе несколько программ. Мы намеренно приводим довольно простые программы, но при этом читателю, прежде чем пользоваться программой, необходимо самому вывести систему уравнений баланса энергии. Это позволит ему познакомиться с современными численными методами и счетными машинами, не теряя навыков расчета теплообмена. С более современными программами решения задач теплообмена читатель может познакомиться в работах [15, 16].
Заслуживает упоминания не использованный нами метод конечных элементов. Этот метод является очень гибким и мощным численным методом и имеет ряд преимуществ перед конечно-
Нестационарная теплопроводность 169
разностными методами, употребленными при решении приведенных выше примеров.
Методом конечных элементов можно составить весьма общую программу численного решения, применимую для очень широкого класса задач теплообмена. Практически невозможно создать общую программу решения конечно-разностным методом, позволяющую решить тот же самый класс задач. Границы неправильной формы и смешанные граничные условия не представляют особых трудностей при решении задачи методом конечных элементов. Этому методу посвящено несколько содержательных монографий [17—20].
Пример 3.9. Решить пример 3.7 неявным численным методом. Плита имеет следующие теплофизические характеристики: k = 40 Вт/(м-град), а = = 3-10-5 м2/с, Я* = 500 Вт/(м2трад), T00 = 100°С, Г0 = 200вС. Геометрические характеристики задачи показаны на рисунке,
К примеру 3.9
Решение. Делим плиту на слои равной толщины и в середине каждого слоя располагаем узел, как и при использовании явного метода. Для граничного узла 1 неявная форма разностного уравнения баланса энергии имеет вид (3.36)
