Основы теплопередачи - Крейт Ф.
Скачать (прямая ссылка):
26,6670
Т(1)« 175.40 Т(2) = 193.96 Т(3)« 198.65 Т(4)« 199.7*1
Т(5)« 199.94. Т(6)« 199.99 Т(7)« 200.00 Т(8)- 200.00 Т(9)»200.00 Т(10)-200.00
t = 40,000с
Т(1)« 168.90 Т(2)« 190.35 Т(3)« 197.38 Т(4)« 199.35
Т(5)« 199.85 Т(6)« 199.97 Т(7)« 199.99 Т(8)-200.00 Т(9) = 200.00 Т(10)-200.00
53,333с
Т(1 ) = 164.21 Т(2) = 186.92 Т(3)« 195.88 Т(4)« 198.83
Т(5) = 199.69 Т(6)« 199.92 Т(7)~ 199.98 Т(8)« 200.00 Т(9)=200.00 Т(10)« 200.00
66,607 с
Т(1)« 160.62 T(2)» 183.75 Т(3)« 194.24 Т(4) = 198.17
Т(5) = 199.46 Т(6)-199.85 Т(7)« 199.96 Т(8) = 199.99 Т(9) - 200.00 Т(10) - 200.00
Для проверки точности результатов численного расчета неявным методом в следующей таблице проводится сравнение полученных при численном расчете значений температур с данными точного решения (3.19) в момент времени t =¦= 66,67 с.
Сравнение результатов численного расчета неявным методом с точным решением примера 3.9
Узел Температура, ° С, при /=66,67 с
Точное решение Численное решение неявным методом
1 2 3 4 5 158,7 182,2 194,2 198,6 199,6 160,6 183,8 194,2 198,2 199,5
Пример ЗЛО. Нужно нагреть длинный брус прямоугольного сечения. Из-за недостатка места тепло можно подвести только с одной поверхности бруса. Нагреватель прижимается к одной стороне бруса и работает до тех пор, пока температура противоположной стороны не достигнет требуемого минимального значения.
Нестационарная теплопроводность 178
Окружающая среда Ас. T03
[<—10 см-^
Нагреватель, Температура Ts-
О 4
О 3
О
2
I
10
20 см
Окружающая среда
Окружающая среда
» T
'1C » со
К примеру ЗЛО.
Первоначально брус имеет постоянную температуру 5O0C Коэффициент температуропроводности материала бруса равен 2,5•1O-5 м2/с, коэффициент теплопроводности 25 Вт/(м-град). Остальные три поверхности окружены воздухом с температурой 3O0C, а коэффициент конвективной теплоотдачи на всех трех поверхностях постоянен и равен 75 Вт/(м2-град). Температура поверхности нагревателя Ts = 300°С, и он находится в хорошем тепловом контакте с длинной стороной бруса, как показано на рисунке. Какое время должен работать нагреватель, чтобы минимальная температура на противоположной стороне бруса составила 120°С?
Решение. Разделим прямоугольное сечение бруса на квадратные ячейки со стороной А* = 0,05 м и обозначим узлы с неизвестными температурами индексами от 1 до 10.
В табл. 3.5 приведена неявная форма разностного уравнения энергии для любого узла. Для всех внутренних узлов
[1 + 4Fo] Tj+At - Fo (ТJ±f + Т\+Ї* + T\Xtf + Ts)-71==0 (і «-2, 3, 4)
Уравнения энергии для граничных узлов, не расположенных в углах тела, записываются следующим образом:
узел 1: [1 + 2Fo (2 + Bi)] т\+" -
[Tt+At т -1
-?— +-у- + rJ+A' + Bi T00J-Tf-O,
узел 5: [l+2Fo(2+Bi)]r?+A'-
[yt + At j> -I
-?— + -f + т{+" + Bi T00J - ті =-0.
узлы 7-9: [1 + 2Fo (2 + Bi)] т\+" -
+ Т\+?* + Bi T00 I - Т\ «О (/ -7, 8, 9).
[Tt+At T\+At -l
+ + Т{±? + Bi T00J - ті.
174 Ґлсва З
Уравнения энергии для граничных узлов, находящихся в углах тела, записываются следующим образом:
узел 6: [1 + 4Fo (1 + Bi)] Г^+ЛГ —
[j,t+At ft+Lt Л
-?— + -4—+BI T00J-T^ = O,
узел 10: [1 + 4Fo(I + В1)1ГЦ"Д'-
[rpt + M rpt + M I
-?— + -?— + Bi T00 J - Tf0 = о.
Выберем шаг по времени Si = ЗО с; в таком случае
Fn «(AQ (2,5-Ю-5) 30 _non
n> _ Hc(Ax) _ 75 - 0,05 _nie Bi---k---= 0,15.
Подставляя значения Bi, Fo, Ts и T00 в уравнения баланса энергии, получаем 10 уравнений в матричной форме
AT=B
узел 1: 2,29Г(+А* - QfiTl+At - 0,ЗГ?+А' = 92,7 + Г{,
узел 2: -0,ЗГ{+А* + 2,2Г?+А' - 0,ЗГ?+А' - о,з:г?+А' = "90+ ТІ
узел 3: ~0,ЗГ?+А' + 2,2Г?+Л' - о,гт{+А* -0,ЗГ?+А' = = 90 + г?,
узел 4: -0,37^+л* + 2,2Г\+М - 0,ЗГ?+А' -0,ЗГ?+А' = 90 + г?,
узел 5: -0,6Г?+А* + 2,29^+Af - 0,ЗГ[+А' = 92,7 + 7І,
узел 6: -0,6Г{+А* + 2,38Г?+А* - 0,6Г?+А' = 5,4 + Г?,
узел 7: -0,6Г?+А' - 0,з?+А* + 2,297^+л* - 0,ЗГ?+А' = 2,7 + T\t
узел 8: -0,6Г?+Л* - 0,3?+Л' + 2,29Г?+А' _о,зг?+А' = 2,7 + Tl
узел 9: ~0,6Г?+А* - 0,з?+л' + 2,297$+А' -о,зг{+А' = 2,7 + Tl
узел 10: -0,6Г|+А* - Ofil+At + 2,38Г(^А': = 5,4 + ^0.
Коэффициенты этих 10 уравнений являются элементами квадратной матрицы А, служащими входной информацией программы численного расчета. Элементы столбцевой матрицы В вычисляются самой программой.
Программа численного расчета аналогична программе, использованной при решении примера 3.9, и отличается лишь элементами матрицы В. Значения этих N элементов вычисляются в программе, написанной на языке Фортран, между операторами 20 и 30. Это единственное отличие между данной программой и программой, использованной при решении примера 3.9. Ниже приводится текст программы численного расчета.
Нестационарная теплопроводность 175
Текст программы численного решения примера 3.10
DIMENSION Т(50),А(50,50),В(50),С(50,50) READ , N.NTIME.DELX.DELT.TO READ , ((A(IJ)1J -1 ,N),l -1 ,N) WRITE (6,10) DELX1DELT1TO 10 FORMAT(IH ,•••. TRANSIENT TEMPERATURE DISTRIBUTION IN DEGREES',/.
1 'CELSIUS DETERMINED BY AN IMPLICIT NUMERICAL TECHNIQUE •••',/ /,
