Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
т. е*
Рх (W/) = _=JLT Ех (ш/) +---------------р Ех (at -V*n). (29)
Сравнивая уравнения (29 и (21), находим
_ NgAynv Ng2 (м^_м2)
упр ?" М (со?-со2)2 + Г2со2'
^#^ПОГЛ ________________Гш______________________________________ .
Е0 ~ М (со?-со2)2 + Г2со2 ' }
Комплексные величины в уравнениях Максвелла. Уравнения Максвелла
не содержат квадратного корня из -1. То же можно сказать и о*любой из
наблюдаемых величин Е, В, Р или М. Однако мы сильно упростим вычисления
для электромагнитных волн в среде с поглощением, если воспользуемся
комплексными величинами.
Если пренебречь поглощением, то уравнение (21) принимает более простую
форму: Px((?>t)=%{(i))Ex{(?>t), где х(ш)=Хупр- Оно аналогично уравнению
(18), которое в свою очередь подобно (для нашего случая) линейному
уравнению (12) для статических полей. В этом случае выражения (12)-(17),
определяющие диэлектрическую постоянную и магнитную проницаемость, могут
быть использованы и для переменных во времени полей.
Если поглощением пренебречь нельзя, то уравнение (18) следует заменить
более сложным уравнением (21). Действительно, мы должны учесть и
компоненту, сдвинутую на +90° относительно поля (то же и для М). Поэтому
следует рассматривать отдельные компоненты Е (соt), Е(со<-V2Jt), B(cof),
В(со/-1/2я) и соответствующие им компоненты поляризации и
намагниченности.
Удобным способом избавиться от этой "бухгалтерии" является использование
комплексных величин, которые мы обозначим Е, В, Р и М, имея в виду, что
фи-
*) В главе 3 мы называли их амплитудами дисперсии и поглощения,
соответственно. (Прим. ред.)
496
аические поля представляют собой вещественные части этих "комплексных
полей". Временная зависимость каждого комплексного поля определяется
множителем ехр (-iat), где знак минус является условием, используемым в
оптике. [В электронике работают с положительным показателем экспоненты
ехр (+('со0- В квантовой механике, как и в оптике, показатель экспоненты
отрицателен.] Таким образом, Ех в комплексной записи имеет, вид
Ex(at) = Е0еКе-!ш* = Е0 cos (соt- <p) - iE0 sin (at- ф). (32)
Физическое поле, соответствующее комплексному полю Ех, равно вещественной
части Ех, т. е. Е0 cos (соt-ф). Упрощения, которые появляются при
использовании комплексного числа ехр (-г'соt) для выражения зависимости
от времени, связаны с тем, что сдвиг на 90° эквивалентен умножению на /:
g-i [иС-с/гЛ] =ei1/2n e~le>t _ Таким образом,
Ex(at- 1/.1Tt) = iEx(a>t). (33)
Комплексная восприимчивость. Вне зависимости от того, используем мы
комплексные поля или нет, физическая поляризация связана с физическим
электрическим полем линейным соотношением (для линейной изотропной среды)
Рх ((r)0 = Хупр Ех ("0 + Хпогл Ех (tot - Van). (34)
где все величины вещественные. Введем теперь комплексную величину Ex(at),
определяемую уравнением (32), и будем считать РхиЕхв уравнении (34)
комплексными величинами (хуПр и Хпогл - все еЩе вещественные величины):
Рх (Ш) = Хупр ЕХ (tot) -|- Хпогл ЕХ (tot г/зП) - Хупр Е X (tot ) "Г t
Хпогл Е X (tot),
т. е.
Px(tot) = t(to)Ex(at), (35)
где
X (to) - Хупр"1" *Хпогл- (33)
Физическая поляризация по оси х равна вещественной части комплексной
величины Рх [уравнение (35)]. Эта комплексная величина имеет в качестве
множителя сумму вещественной и мнимой частей комплексной восприимчивости:
Хупр+ -[-('Хпогл- (Восприимчивости Хупр и Хпогл - вещественные величины.)
Например, положив ф=0 в уравнении (32), имеем
Ех = Е0е~1ш* = Е0 cos at - iE0 sin at, (37)
P* = %Ex ~ (Хупр~1"^Хпогл) (Eo cos at iEq sin at) =
= Хупр Eo cos at -f Хпогл ?osin?^ + ('- (мнимая часть). (38)
Уравнения (37) и (38) дают нам вещественные части Ех и Рх. Вещественные
величины Хупр и Хпогл удовлетворяют уравнению (34), которое справедливо
для физических (и поэтому вещественных) полей.
Комплексная диэлектрическая постоянная. Введя комплексные поля Ех и Рх,
мы получили очень простое выражение Рх=уЕх [уравнение (35)] вместо более
сложного выражения (34). Такое упрощение далось ценой появления
комплексной восприимчивости Х(ш), определяемой уравнением (36).
Уравнение (35) по форме
похоже на уравнение (12) (которое справедливо для статических
полей). Поэтому
мы можем распространить уравнения (12)-(17) на поля, зависящие от
времени. Это значит, что если нельзя пренебречь поглощением и мы хотим
сохранить форму уравнений (12)-(17), то нам следует работать с
комплексной диэлектрической постоянной и с комплексной магнитной
проницаемостью. В соответствии с уравнениями (16) и (36) имеем
е= 1 -}-4ях= 1 +4яхуПр-М 4яХпогл. (39)
Таким образом, е= Ree-j-ilme, где
Ree= 1 +4яхуПр> (40)
1те = 4яХпогл- (41)
Для ш=0 все величины принимают свои статические значения.
497
Комплексная диэлектрическая постоянная для простой модели линейной
изотропной среды. Для нашей простой модели упруго связанного электрона,
не имеющего ни постоянного, ни наведенного магнитного момента, величина
М=0. Отсюда и р=1 в соответствии с уравнениями (13), (15) и (17).
