Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
это условие выполняется только в среднем. Иногда такая молекула есть, а
иногда ее иет. Флуктуации концентрации молекул нарушают когерентность,
поэтому ожидаемая деструктивная интерференция амплитуд при рассеянии на
90° не возникает. Вместо этого (как всегда для некогерентных источников)
полная интенсивность равна сумме интенсивностей от всех источников
(молекул).
Дадим упрощенное доказательство этих рассуждений. Рассмотрим небольшую
область пространства. Назовем ее областью 1. Теперь возьмем другую
область (область 2) того же размера, расположенную иа таком же расстоянии
от Солнца, но на полдлины волны дальше от наблюдателя, чем область 1. (Мы
рассматриваем монохроматическую компоненту солнечного света.) Предположим
далее, что эти области малы по сравнению с длиной волиы. Тогда все
молекулы в области 1 возбуждаются в фазе. Каждая молекула создает в точке
наблюдения поле Et. Если в данное время в области 1 находится пг молекул,
то поле от них в точке наблюдения равно л^. Аналогично поле, образованное
в точке наблюдения молекулами области 2, равно л2Е2, а полное поле равно
E-n1E1-j-n2E2. Области находятся в фазе, а расстояния от них до точки
наблюдения отличаются на полдлины волны. Поэтому Е2=-Е2. Таким образом, в
данный момент времени имеем
Е = я1Е1 + яаЕа = (я1 -яа) Ej.. (О
491
Поле Ех - это поле, созданное одной возбужденной молекулой воздуха. Для
этого поля мы можем написать (опуская обозначение вектора, поскольку мы
не интересуемся поляризацией)
Ех = Аг cos -Ьф). (2)
Поэтому вклад от двух областей 1 и 2 равен
Е - A cos (at -j- ф), (3)
где
А = (п1 - щ)А1. (4)
Чему равно среднее, или "ожидаемое", значение амплитуды Л? Иногда пг
больше, чем я2, иногда меньше. В среднем пг и п2 равны, поэтому
в среднем А равно нулю.
Если rix н га2 постоянно имеют свои средние значения, то Е
всегда равно нулю и
рассеяния под углом 90° не будет. Мы увидим, что это не так.
Обратимся к интенсивности рассеянного излучения. Она пропорциональна
квадрату электрического поля. Возьмем среднее за один период колебаний.
(Период равен примерно 10-13 се/с; пг и п2 не меняются в течение такого
короткого интервала.) Тогда рассеянная интенсивность пропорциональна
квадрату амплитуды Л. Без учета неинтересующих нас констант имеем
Интенсивность = Л2 = ("! - и2)2 А\. (5)
Теперь рассмотрим действие флуктуации величины пг-п2. Если мы образуем
среднее за достаточно большой интервал времени (чтобы области 1 и 2 имели
время "почувствовать" постоянно изменяющуюся плотность), то средняя по
времени интенсивность от двух областей будет равна среднему от (пг-га2)2,
умноженному на интенсивность от одной молекулы нз области 1 или 2.
Обозначив среднюю во времени интенсивность от двух областей через /,
получим
1 = (пх - га2)21х, (6)
где 1г - интенсивность от одной молекулы из области 1, а черта означает
усреднение по времени. Среднее значение пг равно средне,му значению п2.
Поэтому можем записать
(пх - п2)*=\(Пх - "!) - (п2 - "2)]2= ^
= ("i - "i)2-H"2 - и2)2 - 2("i - Пх) (щ - п2). (7)
Взяв среднее, найдем, что
("1 - "г)2 = ("1 - "i)2 - ("2 - n.2f - 2 ("г - Пх) ("2 - п2). (8)
Все, что мы писали до сих пор, применимо как к воздуху, так и к воде.
Теперь мы подошли к главному различию между ними. Для воздуха области 1 и
2 полностью независимы в том смысле, что флуктуации пг (в данный момент)
не зависят от флуктуаций я2. Это объясняется тем, что молекулы области 1
никак не влияют на молекулы области 2. (Для воды ситуация иная: молекулы
"соприкасаются". Чтобы "втолкнуть" молекулу в область 1, нужно освободить
для нее пространство, "вытолкнув" из него другую молекулу. При этом из-за
связи между молекулами вы будете влиять на число молекул в области 2).
Поэтому для воздуха среднее от произведения (пг-пх) на (га2-га2) равно
произведению двух независимых средних значений:
(Пх - Пх) ("2 - п2) = (пх -пх) (п2-п2) = (пх - пх)(п2 - п2) = 0. (9)
(Это обстоятельство является главным пунктом наших рассуждений.) Теперь
оценим средние квадратичные флуктуации пг и п.г. В случае воздуха в
области 1 (или области 2) имеется "сколько угодно" свободного
пространства, т. е. эти области не переполнены молекулами. Появление
избыточного числа молекул в области 1 в данный момент времени никак не
влияет на ту область, откуда пришли избыточные молекулы. В этом случае
оказывается (это будет показано в V томе), что вероятность обнаружить
данное число молекул в области 1 (или области 2) определяется функцией,
называемой распределением Пуассона. Для этой функции средний квадрат
отклонения пг от своего среднего значения равен самому среднему
492
значению:
(rti -rti)2 = яь (л2 - я2)* = яа. (Ю)
Написанное выражение справедливо для молекул воздуха, но не для молекул
воды. В последнем случае существование небольшого избытка молекул сильно
препятствует проникновению (в область) дополнительного числа молекул. Это
свойство воды выражается следующими неравенствами:
("1-"i)2<"i. (n2-n2)*<n2. (11)
