Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
называемую квадратом комплексного показателя преломления, так:
я2=р,е; (64)
тогда
(б5)
Заметим, что так как е и р, - комплексные числа, то ft2 и я2 - тоже
комплексные. Мы можем вычислить корень квадратный из ft2 и я2.
Известно, что квадратный корень из комплексной величины -также
комплексная величина. Таким образом,
имеем комплексное волновое число ft и комплексный показатель преломления
я.
Решения в виде плоских волн. Общее решение уравнения (62) может быть
представлено суперпозицией членов вида
Ф(х, у, z) = exp /k-r = exp i (kxx-\-kyy-\-kzz), (66)
где
fe2=*H4+*!="25=^S- (67)
Тогда общее решение уравнения (59) может быть записано как суперпозиция
плоских бегущих воли:
ф(х, у, г, 0 = ехр [- (' (w^ -k-r)], (68)
где ft2 - комплексное число.
Плоские волны, распространяющиеся вдоль оси г. В качестве частного случая
рассмотрим случай, когда только kz отлично от нуля. Тогда общее решение
представляет собой плоскую волну, распространяющуюся в направлениях -j-z
и -г:
ф (z, t) = lA+e+ikz-\-A~e-'kz]e~l,1>t. (69)
Здесь+fc и -ft - два значения квадратного корня из ft2, а А +и А ~-
комплексные константы. Мы хотим, чтобы член exp [i(kz-0)^)1
соответствовал волне, распространяющейся в направлении +г; поэтому будем
считать, что ft соответствует корню квадратному из ft2 с положительной
вещественной частью (конечно, при условии, что комплексное число k имеет
вещественную часть). Если ft - чисто мнимая величина, то за ft принимаем
значение квадратного корня из ft2, равное +i|fe|.
Связь между Е и В в плоской волне. Решение (69) справедливо для каждой из
шести величин Ех, Еу, Ez, Вх, Ву, Вг, так как все они удовлетворяют
волновому уравнению (59). Для получения этого волнового уравнения второго
порядка мы отбросили некоторую информацию, содержащуюся в исходных
уравнениях Максвелла первого порядка. Вернемся теперь к ним и соберем
потерянную информацию. Из равенств у-В=0 и у-Е=0 мы заключаем, что
составляющие полей Вг и Ez постоянны (для к, направленного по оси г). Мы
не рассматриваем специальный случай нулевой частоты, поэтому эти
постоянные можно положить равными нулю. Таким образом, остались лишь Ех,
Еу, Вх и Ву. Для простоты рассмотрим случай линейной поляризации по оси
х, когда Ех отлично от нуля, а Еу равно нулю. В соответствии с уравнением
(69) имеем
Ех(г, t) - (E+elkz-\-E~e-ikz)e~ia>t, (70)
где ?+ и Е~ - комплексные постоянные. Из уравнений Максвелла (53) и (54)
находим, что Вх равно нулю, а Ву и Ех связаны следующими уравнениями:
дВу ре дЕх дВу дЕх
Используем тот факт, что форма Ву определяется уравнением (69). Тогда
уравне-,
,"(71)""(tm) v,-0 = "(?V" (72)
Таким образом, если задано электрическое поле Ех [см. уравнение (70)], то
Ву, полностью определено уравнением (72). Рассмотрев ненулевую компоненту
Ev> мы получили бы аналогичные результаты. В общем случае результаты
заключав ются в том, что для компонент поля, распространяющихся в
направлениях 4;Z, поля В и Е связаны соотношением
B+ = + zX(nE+), В-= -zX(nE-), (73)
где верхний индекс указывает на распространение по + z или по - г. Во
всех этих соотношениях пик - в общем случае комплексные величины.
Численный пример комплексного показателя преломления. Предположим, что мы
имеем среду с р= 1,0 и e=l+i V 3 для частоты ш. Тогда
я2=1+( J^3 = 2exp (^i , (74)
п= V 2 exp i -|г == V 2 V -2 (= 1,225+0,707", k = n-= 1,225 - +0,707"-.
С с с
Пусть волна линейно поляризована по оси х и распространяется в
направлении +z. Тогда ?-=0. Возьмем ? +=?0, где ?0 - вещественное число.
Тогда
Е =?ogm2-u>l)=?og-O,7O7(a/c)2ei0[(1>225 z/c)-^
. Я '
Ву = пЕх- V 2 Ех ехр j i -
В рассмотренном примере волна распространяется в направлении +г. Длина
волны в среде (т. е. расстояние, на котором фаза возрастает на 2я)
составляет (1,225)-1 длины волны в вакууме. Амплитуда волны уменьшается с
расстоянием по экспоненте. Магнитное поле по величине в ]/~ 2 раз больше
электрического и опережает его по фазе на 30°.
Отражение и преломление плоских волн. Предположим, что среда 1 и среда 2
представляют собой различные однородные среды, плоскость раздела которых
совпадает с плоскостью г=0. Среда 1 занимает все пространство
отрицательных г, а среда 2 - все пространство положительных г. Плоская
волна создается источником в г=-со. Такой источник дает волну,
распространяющуюся в направлении + г. На границе обеих сред возникают
отраженная и преломленная волны. Для простоты ограничимся нормальным
перпендикулярным падением. Пусть падающая волна линейно поляризована
вдоль оси х и имеет комплексную амплитуду Ех.
Пусть, далее, Ri2 и Т12 - комплексные амплитуды отраженной
и преломленной
волн. Имеем . ,
?*(!) = Ьег (fti2-loft + ^i2e~afei +ш<), (75)
?ж (2) = Г12е'<*.*-">*>, (76)
где ?*(1) - полное поле в среде 1 (т. е. сумма пришедшего из -г
и отраженного
полей), ?*(2) - полное (т. е. преломленное) поле в среде 2, a
Ru и Тп - неиз-
вестные комплексные постоянные, которые нужно найти.
Если Ех известно, то, чтобы найти Ву в обеих средах, можно использовать
