Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
, V
"-ST+I- (1)
Фазовая скорость равна
... со nk , V k ~~ 2m + %k '
Скорость классической частицы равна р!т, т. е. fiklm. Таким образом,
уравнение (2) может быть записано как
°Ф(*) = Т° (Частицы) + р'(ча^ицы)' (3)
что является специфическим выражением. К счастью, Оф (k) нельзя наблюдать
непосредственно. Скорость квантовомеханической частицы определяется
скоростью волнового пакета, составленного из нескольких близких значений
k, а не из одного значения k. Скорость же распространения волнового
пакета определяется групповой скоростью цгр. Используя уравнение (1),
имеем
где индекс нуль означает, что производная должна вычисляться для k,
лежащего в центре полосы Ak, формирующей пакет. Таким образом, мы видим,
что огр= =v (частицы), если взять импульс частицы (Aft)0, соответствующий
центру пакета.
Для свободных релятивистских частиц энергия, импульс и масса покоя
связаны следующим образом:
?а = (/лс2)2 +(ср)а, (5)
что дает следующее дисперсионное соотношение (напоминаем, что Е=% сои
p=fik):
ti2m 2= (mc2)2-|-(fcft)2. (6)
Фазовая скорость v^=m/k имеет значение v$=m/k=E/p, которое равно c2/v
(частицы), т. е. больше, чем с. Групповая скорость равна
dm c2k с2р ,
Vr* = lk~=T = V (част^Ь1)- (7)
Соотношение между фазовой скоростью, групповой скоростью и скоростью
света
такое же, как и для радиоволн в ионосфере, а именно Офогр=с2.
Это происходит
из-за подобия дисперсионных соотношений.
Д.5. Волновое уравнение для волн де Бройля
Гармоническая волна де Бройля (т. е. стационарное состояние) в области
постоянного потенциала имеет вид
1)5(2, 2) = е-йо* (Aelkz + Be~ikz). (1)
дф (г, t)
_Х-_-=-(0,1), (г, t), (2)
д2ф(г, t)
Тогда
dt2
-Ы2ф(2, t), (3)
д^дг' ^~e~l'u>* (ikAe'k2-ikBe~lkz), (4)
?$2>=-*4(,.o. И
488
Для нерелятивистских частиц дисперсионное соотношение (см. п.Д.2) имеет
вид
<6>
Умножая уравнение (2) на ih и используя уравнения (5) и (6), получаем
dt 2т дг2 + f ( ' '' U
Уравнение (7) было выведено с помощью гармонических волн, являющихся
его
решением для постоянного потенциала. Однако нет причин для того,
чтобы это
уравнение было несправедливо и в случае, когда V=V(z), т. е. если
потенциал зависит от положения. Именно Шредингер предположил, что
уравнение (7) остается справедливым в случае, когда ]/{г) не постоянно.
Уравнение (7) с V=V(z) называется уравнением Шредингера (более точно,
одномерным уравнением Шредин-гера). Оно широко применяется в атомной
физике.
Когда нельзя пренебречь релятивистскими эффектами, уравнения (6) и (7)
неприменимы. Для свободных релятивистских частиц дисперсионное
соотношение имеет вид
ПЧ>* = ?№№-{-(тсу. (8)
Умножая уравнение (8) на -%г^(г, t) и используя уравнения (3) и (5), мы
получаем
d^(z,t)_ _а д2ф (г, t) (me2)
dt1 ~С ~~dz^ р *(2' Ц- ( }
Уравнение (9) называется уравнением Клейна - Гордона. Обратите внимание,
что если мы положим т=0, то получим классическое волновое уравнение для
недиспергирующих волн, распространяющихся со скоростью с. Это
соответствует тому, что фотон имеет нулевую массу покоя.
Д. 6. Электромагнитное излучение одномерного "атома"
Прежде всего снова прочтите пункт Д.2. Рассмотрим установившиеся
состояния для электрона в одномерной потенциальной яме с бесконечно
высокими стенками, координаты которых г=-U2 и г-А^Ц2. Предположим далее,
что состояние электрона определяется суперпозицией основного состояния и
первого возбужденного состояния:
ф(г, 0 = Ф1 (г._ 0-Ьф2(г, t), (1)
фх (г, t) = i41e-,u,i* cos kg, pL - л, (2)
ф2 (г, t) = А.2е~'шА sin kg, kL = 2n. (3)
Вероятность (на единицу длины) нахождения электрона в положении г в
момент времени t равна
1ф (г, t) |2 = | Аге-'шJ cos kg -{-Ag~lu>A sin kg |2 =
= А\ cos2 kg-{-A% sin2 kg 2AiA% cos kg sin kg cos (o>2-(Ox) t. (4)
Мы видим, что выражение для вероятности имеет член, который совершает
гармонические колебания с частотой биений между двумя боровскими
частотами и>х и о>2. Взяв написанные ниже интегралы, легко получить
выражение для z - среднего в пространстве значения г:
+ L/2 ы 2
J |ф|2<*2 = (Л?-М!)у , J 2|lJj|2d2 = ~/l1/l2C0S((02-Юг)/,
-L/2 -и 2
^ 2 1 ф |2 dz
$ Ж!
32 L А^А.
¦ COS (0>2-0>х) t.
*dz W At+A%
489
т. е.
г= (0.36L)-ф-2-r cos (со,-coi) t. (5)
Al + A;
Почему частота излучения является частотой биений. Электрон заряжен (q=-
е), поэтому он будет испускать электромагнитное излучение той же частоты,
с которой он колеблется. Из уравнения (5) мы видим, что среднее положение
заряда колеблется с частотой биений со2-Поэтому частота излучения равна
частоте биений между двумя стационарными состояниями:
(r)изп - (r)2 Wi- (6)
Д.7. Время когерентности н оптические биения
Можно получить интерференцию между волнами различных частот. Это
справедливо как для оптических, так и для других явлений. Предположим,
что имеем две световые волны 1 и 2, образующие электрические поля Ех и
Е2. Пусть оба поля поляризованы по х (поэтому можно опустить обозначение
вектора.) Полное поле в фиксированной точке пространства г будет
