Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Крауфорд Ф. -> "Волны" -> 243

Волны - Крауфорд Ф.

Крауфорд Ф. Волны — М.: Наука, 2007. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): volni2007.djvu
Предыдущая << 1 .. 237 238 239 240 241 242 < 243 > 244 245 246 247 248 249 .. 263 >> Следующая

уравнение Шредингера. Эта ситуация напоминает случай непрерывной струны,
рассмотренной в п. 2.3. Там было показано, что моды струны имеют
синусоидальную пространственную зависимость только в том случае, если
среда (т. е. струна) однородна. Для неоднородной струны пространственная
зависимость стоячих волн получается из решения дифференциального
уравнения [уравнение (2.59) п. 2.3, мы полагаем натяжение Т0
(a)=T'0=const и плотность р0 (г) не постоянной]
(13)
Аналогично для неоднородного потенциала P(z) пространственная зависимость
стоячих волн де Бройля получается из решения уравнения Шредннгера,
которое в этом случае имеет вид
d2/ (г) 2m +
(14)
Д.З. Проникновение частицы в область пространства, "запрещенную"
классической механикой
Сумма потенциальной и кинетической энергии классической
(нерелятивистской) частицы равна
E = ?+V- (1)
где р2/2т - кинетическая энергия, а V - потенциальная энергия. Положим,
что при 0<2<L потенциальная энергия V=V1, а от z=L до +оо и от 2=0 до -оо
V=Vz (V2>Vi). Предположим, что классическая частица находится в такой
потенциальной яме. Это возможно в том случае, если полная энергия частицы
лежнт между Vi и W Тогда, если классическая частица находится в области
между 2=0 и z=L, она никогда "не выберется" из этой ямы. Она "носится"
туда и обратно между стенками, имея импульс pz = ± |^2m (Е - Vi) н меняя
его знак после соударения со стенкой. Частица не может проникнуть в
область, где потенциальная энергия равна V2, потому что тогда
кинетическая энергия станет отрицательной:
JL = E-V = E-Vi=-(Vi-E) для Е < V2. (2)
Отрицательное значение кинетической энергии для классической частицы не
имеет смысла.
Однако реальные частицы не являются классическими. Реальным частицам
наряду со свойствами "твердых" частиц присущи свойства волн. Соотношения
де Бройля p-fik и Бора Е=пи определяют дисперсионное соотношение
fik2
w = w0(z)-f-- для и>со01 (3)
где
С00 (2)
У(г)
Аналогия со связанными маятниками. Соотношение (3) можно сравнить с
дисперсионным соотношением для связанных маятников (в случае непрерывного
приближения, см. п. 3.5)
ш2 = о>о (2) + ~Tj|-fe3 Аля со2 > Оо, (4)
486
где
" 0
Wo (г) =у •
(5)
Для связанных маятников, когда со меньше <о0, волны не синусоидальны. Они
представляют собой экспоненциальные волны, а среда, в которой такие волны
распространяются, называется реактивной. Дисперсионное соотношение
принимает вид
со2= соо --к2, со2 < со02. (6)
Здесь 6= 1/и - глубина проникновения. Аналогично для волн де Бройля,
когда со меньше со0, дисперсионное соотношение принимает вид
co = co0(z) - , со<соп. (7)
Кинетическая энергия Е-Vx Для нашего случая будет равна
E-Vi L для 0 <г<?,
2 т
И " text
E - Vi= для других г.
(9)
Таким образом, для частицы с положительной кинетической энергией
соответствующие волны де Бройля синусоидальны (для однородной среды) и
имеют волновое число k\. Частице с отрицательной кинетической энергией
соответствуют экспоненциальные волиы де Бройля, характеризуемые
коэффициентом ослабления х2. Волновые функции возможных состояний
электрона, перемещения которого ограничены потенциальной ямой, очень
похожи по форме на "граничные моды" системы связанных маятников,
описанной в п. 3.5. Таким образом, волновая функция /(г), соответствующая
основному состоянию, синусоидальна в области положительной кинетической
энергии (в дисперсивной области) с таким волновым числом, что kL немного
меньше я. При г=0 и z=L синусоидальная волновая функция без скачка
(гладко) переходит в экспоненциальную функцию, которая уменьшается до
нуля иа бесконечном расстоянии от дисперсивной области. (Два самых низких
стационарных состояния показаны на рис. Д.2.)
Из этого графика следует, что вероятность нахождения частицы в области
координат, запрещенной классической механикой, не равна нулю. Для г,
меньших нуля, вероятность пропорциональна | ехр [-х2(-г)] ]2, а для г,
больших L , она пропорциональна | ехр [- x2(z-Z.)] j2.
Заметим, что если V2 стремится к -j-oo, то в соответствии с уравнением
(9) х2 становится равным бесконечности и глубина проникновения б
стремится к нулю. Именно этот случай рассматривался в п. Д.2, где мы
смогли сразу написать волновые числа разрешенных мод (состояний) и затем
получить соответствующие энергии из дисперсионного соотношения. В
настоящем примере конечной потенциальной ямы нахождение разрешенных
значений k (внутри ямы) и х (вне ямы) требует большой вычислительной
работы.
Рис. Д. 2. Электрон в конечной Потенциальной яме. а) График Г (г).
Горизонтальными линиями Ei и Е2 показаны уровни энергии первой и второй
моды (основное и первое возбужденное состояния), б) Волновая функция
основного состояния ft (г), в) Волновая функция первого возбужденного
состояния.
487
Д.4. Фазовая н групповая скорости волн де Бройля
Для нерелятивистского электрона с энергией ? и с постоянной потенциальной
энергией V дисперсионное соотношение (см. п.Д.2) имеет вид
Предыдущая << 1 .. 237 238 239 240 241 242 < 243 > 244 245 246 247 248 249 .. 263 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed