Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
воспользоваться комплексными величинами с зависимостью от времени,
определяемой экспонентой ехр (-tot). [Мы получим его, если положим в
решении (44) соо=0.] Комплексная проводимость определяется следующим
образом:
Jх = Nqx = Nq (- гсох) = - гсоРх = - i<?>%Ex = о (со) Ех. (94)
Отсюда
ст (со)= гсо%= ссо (Хупр"Ь(Хпогл) ~ ^Хпогл гсйХупр- _ (95)
Мы видим, что если проводимость а(со) - вещественное число, то скорость х
находится в фазе с Ех и а пропорциональна неупругой электрической
восприимчивости, Величины %(со) и сг(со) можно записать в виде выражения
с комплексными
503
знаменателями, как это сделано в уравнении (45). Если в этом уравнении
положить соо=0, то
<*"
"<">-'ч(">=~гг=тгг - (97)
В приближении со Г можно пренебречь со2 по сравнению с соГ и мы имеем
w^r' (98)
И
Ма2
стН = -д|р = <7(0) = <7?>?> (99)
Мы видим, что в низкочастотном приближении 0<со<^Г проводимость ст(со)
вещественна и равна значению сг(0), полученному для постоянного поля.
Скорость х находится в фазе с Ех.
Комплексная электрическая восприимчивость % (со) является чисто мнимой
величиной для со<^ Г, в соответствии с уравнением (98). В этом случае
комплексное выражение для квадрата показателя преломления я2 имеет вид
"'=i+te*=i+'T5r=1+i^, (|Ю>
где
2 _4яNg2
М
(101)
- так называемая плазменная частота.
Мы рассмотрим два предельных случая среды с "чнсто активной"
проводимостью: разреженную и плотную среды.
Случай 1. Разреженная среда. В этом случае со, Г н ау удовлетворяют
неравенствам
ш^Г, ^<со<Г, (102)
и в соответствии с уравнением (100), если пренебречь членами более
высокого порядка, чем Шр/соГ, мы имеем
2
1 + <^
соГ
*'•J , <4
!+i^. (ЮЗ)
Тогда комплексное волновое число равно
, СО СО . . 1 СОр со . 2яс
k==nY=T + lTEF=T+~°DC- (104>
В последнем равенстве использованы уравнения (101) и (93). Вещественная
часть k так же, как и в вакууме, равна со/с. Мнимая часть волнового числа
k определяет экспоненциальное затухание бегущей плоской волны. Она
значительно меньше вещественной части, и поэтому средняя длина ослабления
велика по сравнению с длиной волны. Интенсивность плоской волны
пропорциональна квадрату модуля комплексной амплитуды. Она
экспоненциально уменьшается с расстоянием, и это уменьшение определяется
членом exp (-2k\г), где fej- мнимая часть k. Расстояние d=(2k{)-x, на
котором интенсивность уменьшается в е раз, определяется из уравнения
(104):
1 о и 4я РDC 4я
_^2fe/ = - crDC, или -5-=-. (Ю5)
Величина p/d равна сопротивлению прямоугольного параллелепипеда
толщиной
504
d и с боковыми сторонами длиной L\ R = р jyy - yr' ¦ Из равенства (105)
следует, что
эта величина равна 4л/с=377 ом. Вспомните, что сопротивление в 377 ом
является характеристическим импедансом (не дающим отражения) для
электромагнитной плоской волны (см. главу 5). Конечно, на одной длине d
экспонента не дает полного поглощения. Однако отражение практически
отсутствует, и на длине в несколько d волна полностью поглощается.
Если говорить более точно, то некоторое отражение все же возникает.
Вещественная часть п% практически равна единице, а мнимая часть щ мала по
сравнению с единицей, и поэтому относительная интенсивность отраженной
плоской волны (при нормальном падении из вакуума) равна
(я"-02 + 4 0 + 4 4/.
\R 2=-------------"гг -гг" -^1. (Ю6)
(пл+1)* + 4 244 4
Имея в виду уравнения (103) и (105), получим
±ш2=ш
16 VtoT/ ~V4dj ^1• (107)
где ft.=c/co-"приведенная" длина волны в вакууме.
С л у ч а й 2. Плотная среда. Этот случай соответствует неравенствам
со 4 Г, со^сщ,, соГ<^Шр, (108)
и из уравнения (100) следует, что я2 - практически чисто
мнимая величина. Извлекая корень квадратный из я2, мы
помним, что квадратный корень из с равен
[ехр (11/2л)]'/2=ехр (i1/4n)=2-1/2(l+i). Имеем
¦-['ЗГЧ&Ги+о-мед.
Отсюда
V 2
-у- уТ (#Г о+о- vT(^r "+'>¦ <""'
Таким образом, для плотной среды вещественная и мнимая части k равны,
причем каждая из них больше, чем волновое число k в вакууме. Средняя
длина ослабления (для амплитуды) ky1 мала по сравнению с длиной волны в
вакууме. Таким образом, оказывается, что плоская волна, падающая из
вакуума в чисто активную среду, отражается практически без поглощения.
Действительно, расстояние, на которое поле проникает в среду, настолько
мало, что его почувствуют лишь несколько зарядов. Заряды, "чувствующие"
поле, будут двигаться со скоростью, находящейся в фазе с Ех, и будут
поглощать энергию. Однако число таких зарядов столь невелико, что волна
отразится практически без потери интенсивности. Более того, величина
отраженной интенсивности равна
]П |._(ЯД~1)2+Я/ |я|2-2яд I п |2- У"2 | п |
1 1 (П/г+1)2 + я^ ~ М2+2яй |я|2+/"2 |п| ~
2 У~2 /соГ\ */"
~ 1 = 1 - 2 V 2 ( ~т ) • (1П)
ир
Так как соГ^со2", то |Д\2^1.
Средняя длина ослабления (расстояние, на котором интенсивность
уменьшается в е раз) (й=(2?/)-1 равна
d~K г 2с0р
Эта длина d мала по сравнению с длиной волны, но она все же больше в
fc/2d раз толщины пластины, сопротивление которой равно 377 ом (для
