Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
серебра-Валентность серебра равна единице, атомный вес 107,9 г/моль,
плотность 10,5 г/см. Число Авогадро равно 6-1023 моль-1. Тогда 7АЦ6-
1023) (10,5) /(107,9)"= =5,8-1022. Полагая, что М и q - масса и заряд
свободного электрона, находим
(120)
В этом случае я2 отрицательно и п - чисто мнимое число:
и
Плоская волна в реактивной среде имеет вид
Ех = {А+е~^}г-]-А-е+]к'г]е-ш
(nR+ 1)2 + я/ !+я/
2
I
V
4nAe2
~~М~
= 1,36 ¦ 101в рад/сек,
5р7
Удельное сопротивление постоянному току рпосх равно 1,59- Ю~вом-см. Но 30
ом равно с-1 ед. СГСЭ., где с=3-1010 см/сек. Поэтому удельное
сопротивление равно 1,8-10-18 ед. СГСЭр-сл" и величина Г,равна
Г = ХГ~~ = Т^ Pdc = 2,7• 1013 сек-1.
MaDC 4п
Мы видим, что для твердого серебра Г<^?+. Для w^2,7-1013 рад/сек, в
соответствии с нашей моделью, серебро является плотной"активной" средой
(например, для микроволн). Для ох+2,7- Ю13 рад/сек твердое серебро -
чисто "упругая" среда, которая при ю<1,36-1016 рад/сек становится чисто
"реактивной". (Этот интервал частот включает видимый свет.) Для чисто
"упругой" полосы частот при ю> 1,36х X Ю16 рад/сек твердое серебро-
прозрачная среда (например, для далекого ультрафиолета и рентгеновских
лучей). Конечно, реальное серебро не следует точно этой модели. (Из-за
одного упрощения: мы пренебрегли вкладами от "связанных" электронов.)
Приложение. Графит. Его валентность равна 4, плотность 2 г/см2 и атомный
вес 12. Тогда для простой модели имеем
о+ = 0,36-1017 рад/сек.
Удельное сопротивление постоянному току рдс равно 1,57-10-1* ед. СГСЭр-
с,и. Это дает
Г = 1,6-Ю17 сек-1.
Для со^1,6-1017 рад/сек графит чисто активен в соответствии с моделью.
Для ?0<^ 1013 рад/сек это-плотная активная среда. Для 8- 1013<^?о^1,6-
1017 это-разреженная активная среда. Поскольку отношение крайних частот
этой полосы равно всего лишь 20, то оба неравенства не выполняются точно,
и поэтому графит не будет совершенно разреженным для любой частоты, т. е.
он не будет полностью непрозрачным для любой частоты. У графита нет
реактивной полосы. Для ?0.+1,6хЮ17 он прозрачен в соответствии с моделью.
Найдем, чему пропорциональна интенсивность отражения от графита, т. е.
|Д12, для видимого света в случае нашего идеализированного графита. Для
зеленого света в вакууме с длиной волны 5500 А имеем
со = 2-3,14 (3 -1010)/(5,5• 10~?) = 3,42-1015 рад/сек.
Эта частота не попадает в область частот "плотной активной среды", для
которой ?о<^8-1015. Поэтому мы не можем ожидать ни 100% отражения, ни
очень малого отражения. Имеем
ra2 = e=e# + (S/,
,д,1+г"Д4--А "1-gl__i--------------------------
(мо-?02)2+Г2?02 ш2 + Га (3,42)2 +(160)2 е ?02РГы _со2р (Г/ю) _ 160
(Зб)2 ^ ^
1 (юо - ?02)2+Г2?02 0>2 + Г2 3,42 (3,42)2_+(160)а
где
Тогда
га2 = 0,951 + 2,36(=2,55 exp ар,
2 8R
* = агс^оЖ~68°'
п = У2,55 exp (i ~ф ) = 1,60 (cos 34°+ ( sin 34°)= 1,33 + ( 0,90
= 0,15.
2
("я- 1)2 + п| (0,33)2+(0,90)2 ("Я+ 1)2 + и?~ (2,33)2 + (0,90)2
Таким образом, в соответствии с нашей моделью гладкий графит отражает
около 15% интенсивности зеленого света при нормальном падении.
ПРИЛОЖЕНИЕ I
П.1. Ряды Тейлора
Предположим, что функция / (х) может быть представлена в виде
бесконечного ряда
/ (Х) = С0 ~ТС1 (Х Хо) Т- С2 (х -Ч))2~ТС3 (Х *о)2 Т- • ¦ ¦ > (1)
где с-постоянные. В этом случае говорят, что f(x) разложена в ряд в
окрестности точки х0. Чтобы найти первый коэффициент с0, положим х=х0;
тогда в правой части все члены, за исключением первого, исчезнут. Таким
образом, c0=f(x0). Чтобы найти следующий коэффициент clt
продифференцируем уравнение (1) по х и снова положим х=х0. Все члены, за
исключением съ исчезнут, и мы получим с = = (df/dx)о, где индекс нуль
означает, что производная df/dx вычисляется в х=х Аналогично °'
(dmf/dx^)9 = rn\cm. (2)
Уравнение (1) примет вид
"Ч.Ц-..+(*-.)(|)+^(2).+т(5).+ - (3.
П.2. Часто используемые ряды
Функции sin х и cos х. Чтобы получить с помощью ряда (3) разложения sin х
и cos х, воспользуемся равенствамиd (sin x)/dx=cos х, d(cosx)/dx=-sin x,
cos(0)=l sin (0)=0 и x0=0. Получаем '
sin* = *- зТ+5]----> (4)
C0SA;=1-2T+4!---- (5)
Экспонента eaX. Пользуясь равенствами d(e*x)/dx=ae*x, e°=l и x =q получим
из ряда (3)
, , , (r)2*2 , a3*3 , а4*4 ,
e - 1-fax-f 2j -j gj | ^ (-... (6)
Функции sh x и ch x. Для этих функций имеем d(sh)/cEc= ch x, d(chx)/dx-
sh x
(sh) (0)=0, ch(0)=l. Ряд (3) при x0-Q дает
Соотношения, в которые входит экспонента. Если в уравнении (6)
положить
а=+1 и сравнить его с уравнениями (7) и (8) и сделать то же для а=-1,
получим
ех = chx -f- shx, (9)
e-x - chx-shx. (Ю)
Эти уравнения могут быть решены относительно ch х и sh хj
рХ _1_р-Х
ch*= ----------, (11)
рХ р - Х
sb*= 2 '¦ (12)
Если в уравнении (6) положить а= +г =+ У~ 1, получим
1х 1 , • х2 'X3 г х1 , ixb xs .
Аналогично, если в уравнении (6) положить а=-I, получим
, • х2 , ix3 х4 ixi хв , ,,,ч
е -\-ix -+4]-- - (14)
Складывая и вычитая ряды (13) и (14) и сравнивая результаты с рядами (4)
и (5), получим формулы
