Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Электрическая вос-
приимчивость имеет вещественную (т. е. упругую) и мнимую (т. е.
неупругую) составляющие, определяемые уравнениями (30) и (31). Уравнение
(39) принимает вид
с_1 4яЛу (со2 -со2) . 4яМ?2 Гм ,
М (со2 - со2)2 + Г2со2 М (со2 -со2)2 + Г2со2 '
Заметим, что комплексные величины позволяют легко решить уравнение (23)
движения заряда q:
x+Ti + a!x = -^Ex = ^Eae~^t. (43)
Здесь Е0 - комплексное число. Положим х=х0 exp (-i(ot). Тогда х--шх и х=-
со2х. Подставляя эти производные в уравнение (43), получим
(- w2 - /соГ -\- соо) х = ^ Ех,
т. е.
<44)
М (соо - со ) - 1соГ Комплексная восприимчивость равна
X(to) = ^?=^f=^2!- L (45)
Ех Ех М (со0 - со-) - гсоГ Комплексная диэлектрическая постоянная равна
е=1+4яХ=1+^^-i 1--- . (46)
М (соо - со2) - гсоГ
Легко проверить, что уравнения (46) и (42) эквивалентны. Для этого нужно
избавиться от мнимого слагаемого в знаменателе дроби в выражении (46),
чтобы величину е можно было написать как сумму Ree+i'Ime. Иногда более
удобно оставить е в форме (46).
Уравнения Максвелла для линейной изотропной среды. Начнем с общих
уравнений Максвелла [уравнения (5)-(8)]. Предположим, что между Рх и Ех и
между Мх и Вх существует линейная связь [формулы (12)-(17)]. Мы видим,
что этим уравнениям можно удовлетворить действительными величинами только
при со=0, но если заменить действительные величины мнимыми, уравнения
(12)-(17) будут справедливы для любых частот. Таким образом, мы получаем
уравнения Максвелла для комплексных полей В и Е:
уВ = 0, (47)
у(еЕ) = 4ярсвоб, (48)
УХ(В/|х) = 4-^+^Гвоб. (49)
1 3R
VXE = -TW. (50)
В общем случае, когда е и рзависят от частоты, эти уравнения относятся к
определенной частоте со. Так как физические величины рсвоб и -Ьвоб каждая
могут иметь части, пропорциональные как cos соt, так и sin со/, то
они будут вещественными
частями комплексных величин, которые входят в приведенные выше
уравнения.
Конечно, в частном случае среды, для которой е и р не зависят от частоты,
все величины вещественны.
Уравнения Максвелла для нейтральной, однородной, линейной и изотропной
сред. В уравнениях (48) и (49) диэлектрическая постоянная е и магнитная
прони-
498
цаемость р - комплексные функции частоты со. Эти величины также зависят
от координат х, у и г, поскольку свойства среды могут меняться от точки к
точке. Например, в нашей простой модели концентрация атомов N может быть
функцией координат: N=N (х, у, г).
Рассмотрим простой и важный случай, когда среда однородна, т. е. р и е не
зависят от х, у и г. Тогда е и р в уравнениях (48) и (49) постоянны.
Положим, далее, что среда нейтральна-, под этим мы подразумеваем, что
рсвоб и JCB06 равны нулю. (Такая простая модель соответствует
нейтральному газу или аморфному твердому телу.) Тогда уравнения Максвелла
(47)-(50) примут вид
V-B = 0, (51)
V-E = 0, (52)
VXB = f§. (53)
= (54)
Заметим, что, положив р= 1 и е= 1, мы получим уравнения Максвелла для
вакуума. В интересующих нас случаях р и е, как правило, комплексные,
поэтому Е и В тоже комплексные. Например, для нашей простой модели р=1 и
е - комплексное число, а физические поля соответствуют вещественным
частям комплексных полей Е и В.
Волновое уравнение. Уравнения (51)-(54) являются линейными
дифференциальными уравнениями первого порядка. Уравнения (53) и (54) ие
разделены относительно полей В и Е. Из них легко получить разделенные
уравнения второго порядка. Образуем ротор уравнения (53) и затем
используем уравнение (54):
VX(vXB) = ^|(VXE) = -f||. (55)
Точно так же возьмем ротор уравнения (54) и используем уравнение (53):
VX(VXE) = -4|(VXB) = -^p. (56)
Теперь воспользуемся векторным тождеством [см. приложение I, уравнение
(39)]
VX(VXC) = V (V-C) -V2C (57)
и применим его к левой части уравнения (55) и уравнения (56).
Воспользовавшись равенством нулю производных у • Е и V • В, получим
*2В-Й? = 0' ^-^ = 0. (58)
Уравнения (58) в действительности состоят из шести различных уравнений,
каждое из которых имеет следующий вид:
ТЧЧ". *. (59,
где ф(х, у, z, t) заменяет одну из шести величин Ех, Еу, Ег, Вх, Ву, Вг.
Для специального случая, когда е и р вещественны, положительны и не
зависят от частоты, уравнение (59) представляет собой классическое
волновое уравнение для недиспергирующих волн. Эти условия выполняются в
вакууме: (х=е=1. Нас интересует более общий случай нейтральной и
изотропной линейной среды,
где е и р - комплексные величины, зависящие от частоты. При этом
поля Е и В
описываются комплексными величинами, зависимость которых от времени
определяется множителем ехр (-mt). Таким образом, для всех шести величин,
представляемых функцией ф(х, у, г, t), имеем
ф (х, у, г, t) = ф (х, у, z)e~lu>i, (60)
Ц=-"Ч. (61)
499
Подставляя уравнение (61) в уравнение (59) и сокращая иа exp (- iu>(),
получим дифференциальное уравнение для функции координат ц>(х, у, г):
V2<p (х, у, г) -J- &2ф (лг, у, г) = 0. (62)
Здесь комплексная постоянная ft2 равна
= (63)
Комплексный показатель преломления. Определим комплексную величину я2,
