Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Воспользуемся теперь координатами (р и $, которые мы уже приме-
1 Очень поучительное исследование интегрируемых случаев можно найти в статье Whittaker «On the Adelphic Integral of the Differential Equations of Dynamics», Proc. Royal. Soc., Edinburgh, vol. 47, 1917.
250
Глава 8
няли в главе VI, § 7, для построения преобразования кругового кольца в себя. Здесь (р обозначает угловую координату периода 27т, измеряющую длину дуги вдоль эллипса, в то время как $ измеряет угол с положительным направлением касательной к эллипсу, под которым шар исходит из данной точки на эллипсе.
Для любых (<р, $), где $ + п и (р могут быть рассматриваемы как полярные координаты точки на кольцеобразной секущей поверхности (рис. 10), существует одно и только одно исходное состояние движения шара и существует непосредственно сле-
дующее состояние (#i, (pi). Таким образом, определяется преобразование Т, переводящее ($, ф) в (#i, <?i). Мы не будем заниматься здесь выводом формул, выражающих $i, (pi через $, <?, хотя эти формулы могут быть получены прямо или как предельный рис IQ случай формул, появляющихся в
геодезической проблеме на эллипсоиде. Такие явные формулы не нужны для наших целей.
Мы хотим определить качественный характер преобразования Т в этом интегрируемом случае.
Прежде всего, движение бильярдного шара вокруг стола в каком-нибудь из двух противоположных направлений, очевидно, соответствует последовательности точек на одной замкнутой аналитической кривой, лежащей вблизи кривой соответственно $ = 0 или $ = 7г, в зависимости от направления движения, т. е. от того, возрастает или убывает (р* оба предельных случая $ = 0 и $ = 7г соответствуют катанию бильярдного шара вокруг стола вдоль его эллиптической границы в двух противоположных направлениях. Таким образом, мы получаем два аналитических семейства кривых, сходящихся соответственно к кривым $ = 0 и $ = 7г, которые остаются инвариантными при преобразовании Т. Согласно результатам, полученным в главе VI, преобразование Т оставляет на месте точки кривой $ = 0, но поворачивает точки, лежащие на кривой $ = 7г, на угол, равный 27г.
Во-вторых, если мы рассмотрим исходное состояние движения шара, соответствующее касанию к гиперболе, то будет иметься одна и только одна такая точка касания, лежащая на прямой линии, образован-
Системы с двумя степенями свободы
251
ной отрезком, пройденным бильярдным шаром, или продолжением этого отрезка, и мы можем эту точку касания непрерывно изменять вдоль всей гиперболы. Существуют, однако, для каждой такой точки касания два соответственных исходных состояния движения, соответствующих двум значениям <р, — одному на каждой из двух дуг границы стола, лежащих между обеими ветвями рассматриваемой гиперболы. Следовательно, каждая гипербола дает две замкнутые аналитические кривые в кольце, и когда гиперболы, изменяясь, стремятся к малой оси данного эллипса, мы получаем два аналитических семейства кривых, сходящихся соответственно к точкам М\ = (7г/2, 7г/2), М2 = (тг/2, 37г/2), соответствующим движению вдоль малой оси.
Очевидно, что предельным случаем любого из этих четырех типов движения будет упомянутый вначале случай, когда прямолинейные отрезки проходят через фокусы. Но исходные состояния движения, соответствующие прохождению через какой-нибудь фокус, соответствуют одной замкнутой аналитической кривой, и эти две кривые имеют две общие точки, а именно точки N\ = (7г/2, 0), TV2 = (У/2, 7г), соответствующие движению шара вдоль большой оси. Таким путем мы можем разделить все точки кольца (соответствующие всем возможным состояниям движения) на области, как показано на рис. 10.
Преобразование Т оставляет инвариантными точки, лежащие на внутренней границе кольца, и вращает инвариантные аналитические кривые, лежащие близко к ней, на угол, возрастающий вместе с расстоянием от границы, поскольку, — когда $ возрастает, в то время как ср остается неподвижным, — cpi оказывается возрастающим. Для предельной кривой этого семейства, состоящей на двух аналитических дуг, сходящихся в точках N\ и N2, мы видим, что преобразование Т вращает N\ в N2 и N2 в Ni в положительном направлении, причем дуги, проходящие через Ni и N2, меняются местами.
Подобно этому, преобразование Т передвигает точки, лежащие на внешней границе кольца, на угол 2п в положительном направлении, а инвариантные аналитические кривые, лежащие близко к внешней границе, преобразование Т вращает на угол, меньший 2тт и уменьшающийся с увеличением расстояния от границы.
Предельная кривая этого семейства состоит из двух аналитических дуг, имеющих общими концами точки Ni и TV2, и преобразование Т переводит Ni в N2 и меняет местами обе дуги.
Рассмотрение движений, проходящих через фокусы, показывает, что эти движения стремятся асимптотически к движению вдоль большой оси в обоих направлениях. Это обстоятельство находится в соответствии с тем фактом, что все точки, лежащие на внутренних дугах N-\_N2, передвигаются на угол меньший, чем 7г, в то время как точки
252
Глава 8
внешних дуг NiN2 передвигаются на угол больший, чем 7Г. Очевидно, что преобразование Т не имеет инвариантных точек внутри кольца.
