Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
236
Глава 8
жения, асимптотические в отрицательном направлении к данному периодическому движению. Две дуги одной и той же инвариантной кривой, исходящие из инвариантной точки, не могут, разумеется, пересечься, как бы далеко мы их ни продолжили.
Наоборот, две дуги, принадлежащие разным инвариантным кривым, могут пересечься. В этом случае рассуждение, подобное тому, которое мы применяли выше к аналогичным кривым покажет
нам, что каждая из двух инвариантных кривых будет всюду плотна в *5, и что обе кривые будут пересекаться в бесконечном множестве точек(10).
Кроме того, рассуждая как прежде, мы можем показать, что существует бесконечное множество движений, асимптотических в положительном направлении к заданному периодическому движению общего устойчивого типа, с переменными периодами в формальных рядах, или к заданному периодическому движению общего неустойчивого типа, имеющему двояко-асимптотические движения, и в то же время асимптотических в отрицательном направлении к заданному периодическому движению одного из этих двух типов.
Очевидно, что если две дуги положительно и отрицательно асимптотических типов для такого периодического движения неустойчивого типа пересекают сетку одного движения устойчивого типа, то они будут пересекать все такие сетки, а также друг друга.
Отсюда следует, что если мы докажем, что все четыре дуги, исходящие из инвариантной точки, пересекают эти сетки, то, очевидно, мы сможем распространить заключения, сделанные нами выше относительно движений, асимптотических к периодическим движениям устойчивого типа, на периодические движения неустойчивого типа. Мы докажем сейчас, что это действительно имеет место при условии, что, во-первых, асимптотическая аналитическая дуга, исходящая из одной инвариантной точки неустойчивого типа, не будет тождественна дуге, исходящей из другой такой точки, и, во-вторых, что в нашей системе не существует периодического движения общего устойчивого типа с неизменными периодами в формальных рядах. Случай, когда одно из этих условий не удовлетворяется, нужно считать совершенно исключительным. Мы будем проводить рассуждения только для того случая, когда в нашей системе не имеется кратных периодических движений, хотя заключение остается справедливым при гораздо более общих условиях.
Для того, чтобы доказать вышеприведенное утверждение, предположим, что одна из четырех дуг, принадлежащих к рассматриваемому периодическому движению неустойчивого типа, не пересекает этих сеток, и покажем, что это приведет к противоречию. Неограниченно продолжая эту дугу, мы получим на S связное предельное множест-
Системы с двумя степенями свободы
237
во Е. Это множество Е, очевидно, инвариантно при преобразовании Т. Кроме того, вследствие этого обстоятельства и гипотезы транзитивности, Е не может ограничивать область. Поэтому согласно известной теореме, принадлежащей Брауверу(11), на Е существует точка, инвариантная при преобразовании Т. Эта точка должна соответствовать периодическому движению неустойчивого типа, так как по предположению рассматриваемая асимптотическая дуга не может стремиться ни к какому периодическому движению устойчивого типа, с переменными периодами в формальных рядах.
Но теперь очевидно, что S должно содержать по крайней мере две дуги, асимптотические (противоположного типа) к этой инвариантной точке, если только первоначально продолженная дуга не совпадает с одной из этих дуг. Но эта последняя возможность была тоже исключена.
Очевидно, что эти новые дуги в Е не пересекают сеток, принадлежащих к периодическим движениям устойчивого типа, и мы, следовательно, можем взять какую-нибудь одну из них, образуя, таким образом, совокупность Si в S. Продолжая далее этот процесс, мы придем, в конце концов, к множеству S* в S, содержащему минимальное количество инвариантных точек, соответствующих периодическим движениям неустойчивого типа, и асимптотических дуг. Любая дуга в таком множестве Е*, продолженная исходя из инвариантной точки, должна, следовательно, иметь эту точку в качестве предельной, и будут существовать по крайней мере две такие дуги противоположных типов, асимптотические к одной и той же инвариантной точке.
Рассмотрим отдельно случаи, когда будут существовать две, три или четыре такие дуги, асимптотические к инвариантной точке I (рис. 8).
В первом случае пусть IJ и IM будут дуги в Е*, асимптотические соответственно в положительном и отрицательном направлении. Но дуга IM, если мы ее продолжим, должна вернуться в окрестность J, что она может сделать только вдоль IJ. Пусть кривая IJKLM будет построена следующим образом: JK — короткая криволинейная дуга, пересекающая IJ в точке J; KL — дуга, составленная из дуги KKi, соединяющей точку К с ее образом К\ вблизи JJ, и обра-
238
Глава 8
зов KiK2j ... этой дуги, взятых до тех пор, пока мы не при-
ходим к точке L, лежащей близко от /М; LM — короткий отрезок. Криволинейный многоугольник IJK'L'M' можно подобным же образом построить по другую сторону от IJ. Продолжение дуги IM не может приближаться к /J, пересекая JK'Krly потому что тогда дуга IMf тоже лежала бы в X*. Следовательно, это продолжение пересекает JKKi. Подобным же образом продолжение IJ пересекает MLL-i. Топология фигуры показывает, что продолжения IM и IJ будут пересекаться, что противоречит сделанному предположению.
