Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, мы получаем символы для «состояния движения» в нашей проблеме, присоединяя число и к полному приведенному символу. При непрерывном изменении состояния движения и будет изменяться непрерывно (если его рассматривать как периодическую переменную периода один). Соответствующее изменение самого символа будет «непрерывным» в том смысле, что малое изменение состояния движения может вызвать лишь изменения в далеких элементах приведенного символа или же допустимые перестановки порядка последовательных элементов. Соответствующее изменение в нормальном символе будет, вообще говоря, тоже непрерывным, но здесь компоненту вида W{ ссс..., где с — данная группа элементов — нужно считать равной компоненте ссс... Оба конца, очевидно, меняются непрерывно, но никакие другие изменения порядка не должны нигде иметь место в символе.
Мы можем теперь рассмотреть вопрос о типах движений и их взаимоотношениях.
Прежде всего, периодические движения, соответствующие замкнутым геодезическим линиям, находятся, очевидно, в одно-однозначном соответствии со всеми нормальными типами конечных символов, если мы два символа, не отличающихся круговым порядком элементов, будем считать за один. Два периодических движения, соответствующих двум направлениям, в которых может быть пройдена одна и та же геодезическая линия, отвечают соответственно некоторому конечному символу и тому же символу, взятому в обратном порядке. Нормальным символом для полной геодезической линии будет, очевидно, этот частичный символ, повторенный бесконечное множество раз. Так как этот частичный символ может быть выбран по произволу, то соответствующее периодическое движение мы можем выбрать сколь угодно близко от произвольного геодезического движения.
246
Глава 8
Множество периодических движений всюду плотно во множестве всех движений системы.
Далее рассмотрим движения, асимптотические в положительном направлении к данному периодическому движению. Для того, чтобы какое-нибудь движение было таковым, нормальный символ этого движения должен, разумеется, совпадать с символом периодического движения, начиная с некоторого места, и это условие является также достаточным. Для того, чтобы данное движение было асимптотическим к одному периодическому движению, определяемому конечным символом р в отрицательном направлении, а к другому, определяемому символом д, в положительном, необходимо и достаточно, чтобы его символ повторял символ р, начиная с некоторого места влево, и символ д, начиная с некоторого места вправо. Промежуточная часть символа может быть выбрана по произволу. Если символы р и q совпадают, то мы определяем таким образом движение, двояко-асимптотическое к данному периодическому движению. Так как промежуточная часть произвольна, то движения каждого из этих типов всюду плотны, но их множество исчислимо.
Это рассуждение показывает, что существует, имеющее мощность континуума? семейство движений, положительно или отрицательно асимптотических к данному периодическому движению. Существует также бесконечное множество движений, положительно асимптотических к одному заданному периодическому движению и отрицательно асимптотических к другому заданному или тому же периодическому движению, и множество таких движений всюду плотно? хотя исчислимо.
И, вообще, если движение должно быть асимптотическим в данном направлении к какому-нибудь данному движению, то этим задается только один конец соответственного символа.
Подобное же заключение остается справедливым по отношению к движениям, асимптотическим к любым двум данным движениям.
Существуют также движения, полу асимптотические к данным движениям, которые хотя и не являются собственно асимптотическими к ним, но таковы, что их отклонения становятся все более и более редкими при безграничном возрастании (или убывании) времени.
Для того, чтобы построить соответствующий символ, мы должны просто написать такой нормальный символ, который в одном направлении состоит все в большей и большей мере из повторений символа одного из данных движений, в то время как в другом направлении он составлен подобно этому, главным образом, из компонентов символа второго данного движения.
Перейдем теперь к рекуррентным движениям непериодического
Системы с двумя степенями свободы
247
типа. Очевидно, что соответствующий нормальный символ характеризуется тем свойством, что каково бы ни было целое положительное число гг, мы можем найти настолько большое целое число N, что любая встречающаяся в нашем символе последовательность п знаков встретится по крайней мере однажды во всякой последовательности N знаков символа. Морс (цитировано выше) дал особый метод построения такого символа.
Существует, вероятно, целая иерархия таких рекуррентных движений, зависящих (в отношении степени сложности соответственных символов) от характера изменения N в зависимости от п. Здесь я хочу только указать один метод, который может привести к обнаружению рекуррентных движений непериодического типа для рассматриваемой системы. Пусть f(x 1, ... , хр) будет любая функция, аналитическая и периодическая периода 1, относительно своих р аргументов х\, ... , хр (р > 1). Если ci, ... , ср суть р количеств, не связанных между собою никакими линейными соотношениями с целыми коэффициентами, то /(ciA, ... , срХ) будет квазипериодической функцией от А. Обозначим теперь символом а наименьший положительный вычет по модулю q целой части числа а, так что а есть одно из целых чисел 0, 1, ... , q — 1. Функция /(ciA, ... , срХ), если мы будем подставлять вместо А целые числа, даст нам бесконечную в обе стороны последовательность, состоящую из целых чисел 0, 1, ... , q — 1, обладающую требуемым характеристическим свойством рекуррентности, и не будет периодического типа, если только функция / не окажется слишком близкой к периодической.
