Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Предположим, например, что мы возьмем q — 8 и соотнесем числам 0, 1, ... , 7 знаки х, ж-1, у, у-1, wi (или w^1), w2 (или w^1), w3 (или w^_1), w4 (или w^1) соответственно. Кажущаяся некоторая неопределенность несущественна, так как знаки , wj1 должны чередоваться. Тогда мы получим символ для рекуррентного движения на нашей поверхности, соответствующий любой функции /. В самой природе предложенного метода построения рекуррентных непериодических движений лежит то, что они обладают некоторыми р периодами, лежащими в основе, и вполне могут быть непрерывного типа. Пример, предложенный Морсом, оказался, как он показал, разрывного типа.
Общая теория, изложенная в главе VII, показывает, что всякое движение имеет в связном замкнутом множестве своих а- (и))- предельных движений некоторое множество рекуррентных движений.
Метод, примененный там для построения такого рекуррентного движения, имеет свой аналог в символическом методе, при помощи которого по крайней мере один нормальный символ рекуррентного типа
248
Глава 8
может быть получен из каждого конца какого-нибудь нормального символа.
Возникает вопрос: в какой мере связные замкнутые а- и ^предельные множества могут быть заданы по желанию? Но очевидно, что так как данное движение приближается к своим ^-предельным движениям асимптотически при возрастании времени, то возможно найти последовательность безгранично возрастающих дуг
АВ, В'С, CD,
лежащих в ^-предельном множестве, и при этом таких, что В' очень близко к В, С' к С и т. д., и что эти дуги, взятые вместе, аппроксимируют сколь угодно близко множество всех иьпредельных движений(12). Для этой цели мы можем разбить данное движение на длинные дуги MN, NP, PQ, ..., каждая из которых близка к ^-предельному множеству, так что в этом множестве существуют отрезки АВ, В1 С, ..., близкие соответственно к MN, NP и, таким образом, ко всему ^-предельному множеству. Будем называть всякое связное замкнутое множество, обладающее этим свойством, «циклическим».
а- и и-предельные множества всякого движения будут непременно циклическими множествами. Обратно, если в рассматриваемом случае даны два циклических множества движений, то всюду плотно лежат движения, имеющие в точности данные множества в качестве своих а-и ш-предельных множеств.
В самом деле, построим символ, который имел бы в одном направлении последовательность символов, соответствующих дугам АВ, BfC, CD, ... (^-предельного циклического множества, где, как выше, эти символы возрастают по длине, в то время как расстояния между точками BBf, СС, ... становятся все меньше и меньше; сделаем то же для a-предельного циклического множества, но в обратном направлении. Между этими двумя частями вставим произвольный конечный символ. Такой символ, очевидно, соответствует движению с требуемыми свойствами, и эти движения будут, очевидно, всюду плотны, благодаря присутствию произвольного символа.
Наконец, существуют неспециальные движенияу так что рассматриваемая динамическая проблема транзитивна.
Для того, чтобы получить неспециальные движения, нам нужно только написать символы, которые содержали бы все допустимые конечные последовательности значков.
Совокупность всех неспециальных движений, разумеется, измерима в смысле Лебега, и вполне естественно предположить, что ее мера равна мере всего многообразия состояний движения, т. е. что совокуп-
Системы с двумя степенями свободы
249
ность всех специальных движений имеет меру нуль. Я не мог доказать справедливость этого предположения^3).
Таким образом, в геодезической проблеме на замкнутой аналитической поверхности отрицательной кривизны существует чрезвычайно большое разнообразие типов движения, но тем не менее для нее существует специальный алгоритм, при помощи которого мы можем удовлетворительно описать все это разнообразие с помощью надлежащих символов.
Вышеприведенная задача, разумеется, отличается от динамических задач наиболее интересного класса, представленного геодезической проблемой на выпуклой поверхности, в том отношении, что в ней все периодические движения принадлежат к неустойчивому типу. Тем не менее она, по-видимому, является во многих отношениях типической для общего случая.
§ 12. Интегрируемый случай. Проблема геодезических линий на выпуклом эллипсоиде, исследованная Якоби, является общеизвестным примером интегрируемой задачи1. Если мы сплющим этот эллипсоид, превратив его в плоский эллипс, то получим в пределе специальный интегрируемый случай проблемы бильярдного шара (см. главу VI, §6). Этот пример является еще более конкретным, так как геодезические линии превращаются в обыкновенные ломаные с вершинами, лежащими на эллипсе, и сторонами, образующими равные углы с нормалью к эллипсу в любой вершине.
Из элементарной геометрии известно, что если какой-нибудь отрезок этой ломаной проходит через фокус эллипса, то все последующие и предыдущие отрезки этой ломаной будут проходить поочередно через оба фокуса эллипса, как бы далеко мы их ни взяли. Другое общеизвестное свойство состоит в том, что если мы построим систему эллипсов и гипербол, конфокальных с границей бильярдного стола, то последовательные отрезки нашей ломаной или их продолжения будут касаться одного и того же эллипса или гиперболы нашей системы конфокальных конических сечений; если эти точки касания лежат на эллипсе, то бильярдный шар будет двигаться кругом стола все время в одном и том же направлении; если же эти точки лежат на гиперболе, то последовательные точки касания лежат поочередно на ее двух ветвях, а последовательные отрезки лежат между ее ветвями; большая и малая оси эллипса, ограничивающего стол, образуют два предельных случая периодического движения.
