Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Можно без преувеличения сказать, что последняя работа Сундма-на2 является одной из замечательнейших работ о проблеме трех тел, которая была когда-либо сделана. Он доказал, что по крайней мере в том случае, когда момент количества движения тел относительно какой-либо оси, проходящей через центр тяжести, не равен нулю, наибольшее из трех расстояний между телами будет всегда превосходить некоторую определенную константу, зависящую от начального расположения; таким образом, доказана невозможность тройного соударения, тогда как относительно особенностей при двойном соударении показано, что
1См. его «Methodes nouvelles de la Mecanique celeste».
2Cm. Sundman, «Memoire sur le probleme de trois corps», Acta Mathematica, vol. 36, 1912; в связи с этим см. также J. Chazy, «Sur Failure du mouvement dans le probleme des trois corps», Ann. Scient. De l’Ecole Normale Sup., 1922.
260
Глава 9
они устранимого типа. Этим путем установлена справедливость предположения Вейерштрасса о невозможности тройного соударения и получены сходящиеся ряды для координат и времени, годные для всего движения. Получив такие ряды, Сундман «решил» проблему трех тел в смысле, указанном Пенлеве1. В сущности, однако, существование таких рядов является простым отражением того физического факта, что тройное столкновение невозможно, и ничего более этого не дает относительно качественной природы решения. В этой главе я собираюсь рассмотреть проблему трех тел, стараясь приложить к ней, насколько возможно, точки зрения, развитые в предыдущих главах, и в частности показать, в чем, по-видимому, состоит истинное значение результатов, которые были получены Сундманом2.
§ 2. Уравнения движения и классические интегралы. Предположим, что рассматриваемые три тела, которые мы будем считать материальными точками, находятся в точках Ро, и имеют мас-
сы mo, mi, т,2 соответственно. Обозначим расстояние PoPi через г2, расстояние Р0Р2 через Т\ и расстояние Р±Р2 через го. Если мы теперь положим
_ mo mi то т,2 mim2 /, ч
и Г 2 “Г Г1 + Г0 ^ '
и если Xiy yi, Zi (г = 0, 1, 2) будут декартовы координаты соответствующего тела Р^, а у\, z[ будут составляющими скорости этого тела, то уравнения движения могут быть записаны в виде девяти уравнений второго порядка:
= эи = ди fzi = ди (i = 012\ (2)
% dt2 dxi1 1 dt2 ‘dt2 dzi {l u’ ’’ {г)
которые, очевидно, представимы как уравнения Лагранжа; они могут быть также записаны как восемнадцать уравнений первого порядка:
*=!/', % = zi, (i = 0,l,2),
dt •’ dt "*’ dt dx[ = dU mM=dU т.^± = Ж
* dt dxi ’ * dt dxji ’ * dt dz{ ’
= 0,1,2),
(3)
которые, разумеется, могут быть легко превращены в уравнения типа Гамильтона. Мы не будем здесь делать этого преобразования, которое может быть произведено обычным способом, а также не станем
хСм. Painleve, «Lecons sur la theorie des equations differentielles».
2Большая часть новых результатов, содержащихся в этой главе, сообщена мною в Chicago Colloquium в 1920 г.
Проблема трех тел
261
высказывать обычные вариационные принципы, которые могут быть применены к данному случаю (см. главу II).
Интеграл, выражающий принцип сохранения энергии, будет, как легко видеть, иметь вид
где К — постоянная интегрирования.
Кроме этого интеграла имеется, разумеется, еще шесть линейных интегралов количества движения, которые означают, что центр тяжести движется по прямой линии с постоянной скоростью; если мы выберем систему координат таким образом, чтобы центр тяжести был неподвижен и находился в начале координат, то эти шесть интегралов примут вид
Имеются также три интеграла площадей. Если мы возьмем их относительно осей координат, то эти три интеграла примут вид
где а, 6, с суть постоянные интегрирования.
Эти десять интегралов представляют собой все известные существенно независимые интегралы нашей системы.
§ 3. Приведение системы к двенадцатому порядку. Нашу систему (3) дифференциальных уравнений можно сразу же привести к системе двенадцатого порядка при помощи интегралов количества движения (5), применяя, например, следующий метод, предложенный Jla-гранжем. Пусть координаты точки Pi относительно Р0 будут (ж, у, z), а координаты точки Р2 относительно центра тяжести тел Р0 и Pi бу-дут (?, г/, С). Если мы обозначим для удобства
^ TtliXi = ^ niiyi = ^ niiZi = О,
X) miX'i = X) miyi = X miZ'i = °-
(5)
(6)
т0 + mi
т0 + mi
М = mo + га 1 + ттт-2 j га
га0 + mi
morai
(т0 + mi)m2 т0 + mi + т2 ’
262
Глава 9
то получим следующие явные формулы преобразования переменных:
(8)
02 — 1 — Ч^о ч)
вместе с формулами обратного преобразования:
х = хг-хо, у = yi -уо, z = z1-z0,
(¦ = х2-рх 1 - qxо, Г] = у2-ру1~ qyo, ( = z2 - pz± - qz0
m2 r m2 m2 >
= yo = -jjrV-py, zo = -j^(-pz,
m21 , ГП2 , m2 > .
= + ^ 2/1 = -jfV + qy, Z1 = -jjrC + Qz,
mo + mi . mo + mi mo + mi
ж2 =---------^-----?, У2 =---------7T----^ Z2 = -
M
M
M
(9)
которые следуют из формул (8) и (5).
Полученная таким путем система двенадцатого порядка может быть записана в следующей изящной форме:
dx dt = x', dy dt = У dz dt = z';
di drj — r>' d( — t'-
