Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Вдоль инвариантных аналитических кривых с рациональным коэффициентом вращения все движения будут периодическими в интегрируемом случае с одним и тем же периодом 2ктт. Именно на этом обстоятельстве основывается наше дальнейшее рассуждение.
Далее, из самой природы преобразования Т следует, что вблизи
^Methodes nouvelles de la Mecanique celeste», т. 1, гл. 5.
Системы с двумя степенями свободы
257
точки равновесия не имеется других периодических движений с тем же периодом 2кж, так как вращение постоянно возрастает вместе с расстоянием и инвариантное семейство представлено кривой, встречающей каждый радиус только однажды.
Напишем теперь
Н = Н0 + цНи
где Но есть данное значение главной функции, ^ — малый параметр, a Hi — аналитическая функция от р1, q1 и ?, периодическая относительно t с периодом 2тг и начинающаяся с членов не ниже пятой степени, если мы ее разложим в степенной ряд по степеням но в
остальном произвольная. Легко убедиться, что в измененной проблеме множитель А и постоянная / не зависимы от /х.
Кроме того, мы можем принять, что Н0 имеет нормальный вид
Н0 = Xpiqi + 7p>\ql,
так как мы можем пользоваться нормальными переменными. Вдоль всякого движения аналитического семейства уравнения вариации имеют одно и только одно периодическое решение периода 2кк, как показывает прямое вычисление.
Будем изменять ^ от его начального значения /1 = 0. Тут могут представиться две возможности. Либо кривая, изображающая периодическое аналитическое семейство для fi — 0, может быть продолжена аналитически, в каковом случае имеется близкая кривая для // ф 0; или же будет иметься только конечное число периодических движений этого периода для малых по абсолютной величине.
В первом случае, очевидно, должно существовать периодическое решение уравнений вариации относительно которые получаются, если мы прибавим неоднородные члены — dH\jdq\, dHi/dpi к соответственным правым частям уравнений вариации, упомянутых выше. Но так как dHi/dqi, dHi/dpi могут быть взяты почти по произволу вдоль любого периодического движения, то обычные явные формулы для вариаций Spi, Sqi показывают, что, вообще говоря, не будет существовать никакого периодического решения. В самом деле, функции Spi, Sqi могут быть выражены как интегралы, линейные в этих произвольных функциях, к которым прибавлено общее решение однородной системы, одна часть которой является периодической. Таким образом, два условия должны удовлетворяться в то время, как имеется (существенно) только одна произвольная постоянная, и условие совместимости требует, чтобы обращался в нуль некоторый интеграл, взятый на отрезке, равном 2ктг, подынтегральное выражение которого содержит ли-
258
Глава 8
нейно dHi/dqi, dHi/dpi. Очевидно, что это условие не может в общем случае выполняться.
Следовательно, если Hi выбрано надлежащим образом и затем ц взято произвольно малым, то будет только конечное число периодических движений этого периода.
Но по предположению измененная система интегрируема. Посредством другого, значительно меньшего изменения функции Н, мы можем уничтожить аналитическое периодическое семейство значительно ближе к положению обобщенного равновесия, не вводя при этом новых периодических движений периода 2кп.
Идя далее таким же образом, мы образуем предельную допустимую главную функцию Н, для которой Ли I остаются прежними, но для которой не существует аналитических периодических семейств, принадлежащих коэффициентам вращения, сколь угодно близким коэффициенту вращения обобщенного равновесия. Эта предельная проблема не может, следовательно, быть локально интегрируемой в приведенном смысле.
Так как существует только исчислимое множество периодов 2ктг (к = 1, 2, ...), участвовавших в нашем рассуждении, легко видеть, что для подходящим образом выбранного Н не будет существовать никаких периодических аналитических семейств вблизи точки равновесия.
В локально интегрируемой гамильтоновой проблеме вблизи обобщенного равновесия общего устойчивого типа I ф О будет существовать бесконечное множество близлежащих аналитических семейств периодических движений, имеющих своим периодом целое кратное основного периода.
Вообще же гамильтонова система близ такого периодического движения будет локально неинтегрируемой и не будет иметь аналитических семейств близлежащих периодических движений.
Было бы возможно, и это представляло бы значительный интерес, применить тот же метод к доказательству того, что близкие инвариантные семейства, асимптотические в противоположных направлениях, к одному и тому же периодическому движению, вообще говоря, не существуют. Это исключило бы возможность инвариантных семейств, принадлежащих рациональному коэффициенту вращения, и доказало бы, что вообще имеется либо полная неустойчивость, либо зональная неустойчивость.
Тот же метод позволяет нам установить, что кратные периодические движения, вообще говоря, не существуют для периодических задач этого типа.
Глава 9 Проблема трех тел
§ 1. Вводные замечания. Задача трех или большего числа тел считается по справедливости одной из самых знаменитых проблем в математике. Тем не менее, до недавнего времени весь интерес в этой проблеме был направлен на формальную сторону вопроса и в частности на формальное решение посредством рядов. Пуанкаре1 был первым, получившим блестящие качественные результаты, касающиеся в особенности специального предельного случая так называемой «ограниченной проблемы трех тел», рассмотренной впервые Хиллом. Что касается общей проблемы, то главные результаты, полученные Пуанкаре, следующие: во-первых, он установил существование различных типов периодических движений методом аналитического продолжения; во-вторых, он показал, что в силу самой структуры дифференциальных уравнений проблемы тригонометрические ряды могут быть полезными, и, наконец, в-третьих, он указал на пригодность этих рядов, как асимптотических. Все эти результаты остаются справедливыми не только для проблемы трех тел, но и для всякой гамильтоновой системы. К несчастью, в его исследованиях всегда имеется вспомогательный параметр /х, причем при {i — 0 система будет специального интегрируемого типа. Таким образом, возникающие трудности (по крайней мере, отчасти) более зависят от особой природы интегрируемого предельного случая (когда два из трех тел имеют массу 0), чем присущи самой проблеме.
