Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Системы с двумя степенями свободы
243
Каждой допустимой деформации пути АВ (причем А и В остаются, разумеется, фиксированными) будет соответствовать некоторая модификация символа. Символы, получаемые друг из друга таким способом, можно назвать «эквивалентными». Совершенно очевидно, что необходимо найти условия эквивалентности двух систем и определить какую-нибудь нормальную форму для каждого класса эквивалентных символов.
Допустимые преобразования символов будут двух типов. Во-первых, мы можем вставить или исключить любую пару элементов вида аа-1 или а-1а, так как это соответствует деформации над овалом или отрезком. Во-вторых, мы можем заменить такой символ, как w^y на yw2, или w^y на yw^"1, или Ш2У~1 на г/-1гиз, или w^y-1 на y~xw^ . Эти изменения будут представлять собою преобразования символа, когда точка Р дуги АВ, лежащая на геодезическом овале, проходит при деформации через общую точку квадрантов W2 и геодезического овала. Мы будем иметь подобные же преобразования в точке, общей квадрантам г^з, и?4, в точке, общей квадрантам W4, w\ и в точке, общей квадрантам W\, ги2.
Для того, чтобы получить нормальную форму, мы уменьшаем число элементов в символе, насколько это возможно, следующими тремя способами. Во-первых, мы вычеркиваем всякую пару аа~г или а~га. Во-вторых, мы заменяем всякую тройку, подобную yw2y~x на w3; в самом деле, имеем:
yw2y~1 = W3(yj/_1) = ги3.
Для каждой из шестнадцати определенных выше операций второго типа существует по две соответствующие тройки вида pwip-1 или pw^~1p~1, где р обозначает один из символов ж, ж-1, у, г/-1; каждая из этих троек может быть заменена одним элементом wj или wj1.
В-третьих, мы заменяем всякую тройку, подобную w^yw^1 на у. Для каждой из шестнадцати операций второго рода будет также по две соответственные тройки этого типа, могущие быть замененными одной буквой ж, ж-1, у или г/-1.
После того, как это все проделано, мы везде, где только возможно, меняем порядок во всех парах, подобных г/_1ги3 (составленных из одного из элементов ж, ж-1, у, у~х, за которым следует Wi или w^1), так, чтобы элемент wj (или wj1) был на первом месте. Так, например, y_1w^
заменяется на W2y~1-
Нормальную форму мы определим как такую, которая получится после того, как будут проделаны все эти преобразования. Мы хотим показать, что эта нормальная форма будет единственной. Для этой цели
244
Глава 8
мы разделим взятый символ на несколько компонент, из которых каждая состояла бы либо только из элементов ж, ж-1, у, у-1, либо только из элементов wj, w^1. Например, для дуги АВ на чертеже символ будет, очевидно,
xyxw2,y~1w21wix~1; он уже имеет нормальную форму и делится на пять компонент:
хух, w2y у-1, w^w 1, ж-1.
Мы будем доказывать для этого частного случая, что нормальная форма единственна, но метод доказательства будет, очевидно, совершенно общий. Первая компонента, очевидно, дает наименьшее число квадратов, которое может пройти проекция точки Р, движущаяся от А к В вдоль пути этого типа, прежде чем она пересечет экваториальную плоскость. Следовательно, всякий другой нормальный символ для АВ должен иметь ту же первую компоненту. Подобно этому, вторая компонента указывает единственным образом наибольшее число переходов через плоскость z = О, которое может совершить точка Р, оставаясь все время в одном квадрате и никогда не пересекая дважды одного и того же геодезического овала. В данном случае имеется только один элемент w2 во второй компоненте. Следовательно, вторая компонента будет w2 во всякой нормальной форме.
Вообще мы совершаем только необходимые переходы через стороны квадратов и геодезические овалы, причем эти последние производятся насколько возможно раньше. Такова будет геометрическая интерпретация операций, приводящих символ к нормальной форме, и это обстоятельство может послужить основой для доказательства единственности этой формы.
Условие, что какой-нибудь символ находится в нормальной форме, означает просто, что некоторые комбинации элементов не могут в нем встречаться. Этими недопустимыми комбинациями будут, очевидно, следующие:
жж-1, х~гх, уу~г, у~гу, WiWГ1, w^wi (i = 1, 2, 3, 4); xwi, XW4, xw^1, Aw^1, a;-1W2, ж_1№з, x~1w^1, x~1w^1; yw 1, yw2, yu,-\ ywi1, y~1w3, y_1№4, У^Щ1, y-'w;1.
Бесконечный символ, соответствующий полной геодезической линии, будет, очевидно, обладать тем же свойством минимальности числа элементов, что и нормальный символ, так как геодезическая линия пересекает вспомогательные геодезические линии (стороны квадратов и геодезические овалы) наименьшее число раз. Мы будем называть этот
Системы с двумя степенями свободы
245
символ «приведенным символом». Буквы х, ж-1, у, у-1 следуют друг за другом в приведенном символе в точности в том же порядке, что и в нормальном. Но точное положение элементов W{ не может быть определено без более точного знания свойств данной поверхности, и оно будет различным для различных поверхностей того же общего типа.
Для приведенного символа точки пересечения геодезической линии с вспомогательными линиями могут быть ассоциированы с соответственными элементами символа, а промежуточные точки мы можем указывать, вставляя обыкновенное вещественное число и (0 < и < 1) между двумя последовательными элементами а, /3, указывая этим, что точка Р лежит на дробной части и пути от пересечения а до пересечения /3 по геодезической дуге.
