Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим теперь различные типы движения и для начала какое-нибудь движение, соответствующее кривой аналитического семейства, содержащего кривую $ = 0.
Примем аналитические переменные (у?, V0? гДе 'Ф изменяется вместе с кривой семейства. Преобразование принимает вид
<pi = F(<p, ф), =ф
с якобианом
J=7T>°¦
dip
Если в этих переменных инвариантный интеграл будет
//
(см. § 1), то мы будем иметь
i{<pi, V-i)f = 1{<р, Ф),
так что интеграл от f I dip вдоль какой-нибудь дуги ф> = const и вдоль преобразованной дуги имеет одно и то же значение.
Положим теперь
г<Р
х _ .С J(^ У’) dtP
Ф)
27Г г27Г
вводя таким образом новую аналитическую угловую переменную х пе~ риода 27Г, которой мы можем заменить (р. В этих специальных переменных преобразование Т примет вид
XI = Х + а('Ф), фг =ф.
Здесь а(ф) — аналитическая функция от ф>.
Следовательно, преобразование любой инвариантной кривой аналитического семейства, содержащего кривую $ = 0, является по существу вращением на угол а, изменяющийся аналитически вместе с кривой и возрастающий, начиная с нуля при д = 0 к предельному значению 7г. Но эту переменную ф, разумеется, не следует считать определенной на предельной неаналитической кривой.
Системы с двумя степенями свободы
253
Следовательно, если а(ф) соизмеримо с 27т, скажем, а = 2itp/q, то каждая точка инвариантной кривой соответствует полигональному периодическому движению бильярдного шара, при котором он обходит за один период р раз вокруг эллипса и имеет на нем q вершин. Здесь р считается взаимно простым с q и р, q принимают все значения, при которых р < qj2.
Если а(ф) несоизмеримо с 27т, то вся кривая соответствует одному минимальному множеству рекуррентных движений непрерывного типа.
Таким же образом, на аналитическом семействе инвариантных кривых, содержащем кривую $ = 7г, преобразование Т является по существу вращением с коэффициентом вращения /?, изменяющимся аналитически от одной инвариантной кривой к другой и уменьшающимся от значения 2тг на границе к предельному значению тт. И в этом случае мы имеем такое же распределение периодических движений и движений рекуррентного типа.
Если мы теперь обратимся к двум аналитическим семействам кривых, которые примыкают соответственно к точкам Mi и М2 и которые меняются местами при преобразовании Т, то целесообразнее рассматривать Т2 вместо Т, поскольку Т2 оставляет кривые обоих семейств инвариантными, в то время как ни одна точка этих кривых не может быть инвариантной относительно нечетной степени преобразования Т.
Рассуждая аналогичным образом, мы можем показать, что преобразование каждой из этих инвариантных кривых в себя при Т2 является по существу вращением, коэффициент которого 7 изменяется аналитически от кривой к кривой; в каждой из двух инвариантных точек Mi,М2 значение 7 будет просто коэффициентом вращения для соответствующего устойчивого периодического движения вдоль малой оси, причем 7 стремится к предельному значению вдоль предельной неаналитической кривой семейства.
Если 7 соизмеримо с 27т, скажем 7 = 27тp/q, то всякая точка инвариантной кривой соответствует полигональному периодическому движению, имеющему на эллипсе 2q вершин и р раз колеблющемуся по направлению малой оси. Если 7 не соизмеримо с 27т, то кривая соответствует единственному минимальному множеству рекуррентного типа.
Очевидно, что точки 7Vb дг2 соответствуют периодическому движению вдоль большой оси и, следовательно, будут неустойчивого типа с аналитическими асимптотическими ветвями, представленными инвариантными кривыми, проходящими через эти точки. Подобным же образом Mi, М2 соответствуют периодическому движению устойчивого типа вдоль малой оси.
Таким образом, мы видим, что имеющееся в нашем распоряжении
254
Глава 8
аналитическое орудие дало нам возможность определить возможные типы движения и их взаимоотношения.
И не только эти, но и другие естественно возникающие вопросы могут быть разрешены без затруднения.
Например, в случае движения вокруг стола в любом из двух направлений имеется ли единственное число, которое можно было бы по праву назвать средним угловым вращением? Ответ на этот вопрос положительный в случае периодического движения, и можно показать также, что он будет положительным и в случае непериодического движения. В самом деле заметим, что если п обозначает число вершин, пройденных в какой-нибудь промежуток времени, и если fn обозначает соответствующее приращение ранее определенной координаты х, то мы имеем очевидно
где а — коэффициент вращения. Кроме того, если п велико, то вершины будут распределены с приблизительно равной густотой для х между 0 и 27г. Но время, необходимое для прохождения от одной вершины к следующей, пропорционально длине отрезка и, следовательно, имеет вид 1(х)ч гДе ^ есть аналитическая и периодическая (периода 27т) функция от х- Следовательно, полное время, потребное на прохождение п вершин, будет:
Чх) + 4xi) + • • • + i{xn-1),
что приближенно дается интегралом
2тг
й Il{x)dx•
о
Отсюда мы выводим, что существует среднее угловое вращение, которое имеет величину
