Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Козлов В.В. -> "Регулярная и хаотическая динамика. Том 8" -> 85

Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.

Козлов В.В., Борисов А.В., Данилов Ю.А. Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 — НИЦ РХД, 1999. — 407 c.
Скачать (прямая ссылка): regulyarnayaihaoticheskayadinamika1999.pdf
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 147 >> Следующая

Предположим теперь, что три дуги, например, IJ одного типа и /М, IMf другого, лежат в ?*. Отсюда следует, как выше, что продолжение IJ пересечет MLL-1 и M,L,L'_1. Но, если продолжение дуги IJ не пересекает ни /М, ни /М', то из топологии фигуры очевидно, что IM пересечет JK'K[ и также IMf пересечет JKKi. Таким образом, IM и IMf должны обязательно пересекаться, что невозможно, так как эти дуги принадлежат к одному и тому же типу.
Остается рассмотреть случай, когда все четыре дуги лежат в ?*. В этом случае дуга /М, если мы ее продолжим, должна пересекать линию KiKJKfK[. Но IM не может пересекать JK,K[, потому что тогда продолжение IJ не могло бы приближаться к /М', что видно из рассмотрения фигуры. Следовательно, IM должно пересекать JKKi и подобным же образом IM' должно пересекать JKfK[. Но то же рассуждение, которое мы применяли к /J, покажет, если мы его приложим к /М, то IJ должно пересекать MLL-1. Следовательно, IJ и IM должны пересекаться, что невозможно.
Мы можем теперь формулировать наше заключение.
Предположим, что для какой-нибудь динамической проблемы транзитивного типа с двумя степенями свободы имеется секущая поверхность S рода один. Предположим, кроме того, что все периодические движения общего устойчивого типа содержат переменные периоды в своих формальных рядах и что никакие два аналитических асимптотических семейства, связанных с различными периодическими движениями неустойчивого типа, не совпадают.
При этих условиях каждое из этих асимптотических семейств плотно в М и имеется бесконечное множество движений, асимптотических в обоих направлениях к двум любым (различным или совпадающим) периодическим движениям, безразлично устойчивого или неустойчивого типа.
Сделанное нами специально предположение о несуществовании кратных периодических движений несущественно для доказательства этого предложения; оно было сделано для упрощения доказательства,
Системы с двумя степенями свободы
239
которое приведено здесь в предположении, что мы имеем дело с этим общим случаем.
Высказанный результат делает очевидной некоторую аналогию между движениями устойчивого и неустойчивого типа.
Выше было показано, что в любой окрестности периодического движения общего устойчивого типа, с переменными периодами в формальных рядах, существуют соседние периодические движения как устойчивого, так и неустойчивого типа. Естественно, возникает вопрос: имеются ли подобно этому периодические движения, сколь угодно близкие к какому-нибудь периодическому движению неустойчивого типа? Конечно, такое движение не может оставаться вблизи данного периодического движения в течение всего периода. На этот вопрос может быть дан утвердительный ответ. А именно, можно показать, что когда обе асимптотические аналитические ветви периодического движения неустойчивого типа пересекаются, то будет существовать бесконечное множество периодических движений, проходящих через сколь угодно малую окрестность соответствующих двояко-асимптотических движений и данного периодического движения неустойчивого типа1.
Таким образом, можно сказать, что множество всех периодических движений как устойчивого, так равно и неустойчивого типа будет в известном смысле плотно в себе в очень широком классе случаев.
Предположение Пуанкаре, что эти периодические движения всюду плотны, как мы видели, не всегда оправдывается (см. главу VI, §4), но оно, несомненно, является справедливым в весьма широком классе случаев.
§ 10. О других типах движений. До сих пор мы рассматривали среди различных типов рекуррентных движений только периодические движения, предельно-периодические движения и некоторые другие простые типы рекуррентных движений. Такие рекуррентные движения почти наверное образуют бесконечную иерархию все более и более сложных типов, даже для динамических систем с двумя степенями свободы, которые мы в настоящий момент рассматриваем.
Из движений, асимптотических к рекуррентным в том или ином направлении, мы рассмотрели только движения, асимптотические к периодическим движениям. Мы не рассматривали других специальных и неспециальных движений. Общие методы, применяемые в этой и предыдущей главе, приводят по данным вопросам к целому ряду различных результатов2.
^-См. мою статью «On the Periodic Motions of Dynamical Systems», которая напечатана в Acta Mathematica, t. 50, 1927.
2См. Мою статью «Surface Transformations and Their Dynamical Applications», Acta Mathematica, vol. 43, § 54-73.
240
Глава 8
Мы не будем пытаться идти далее в этом направлении. Пример, приведенный в §11, даст нам некоторое представление о сложности, которую следует здесь ожидать.
§ 11. Пример транзитивной динамической проблемы. Динамические задачи, обычно называемые «интегрируемыми», представляют собой проблемы интранзитивного типа, в которых движения представлены кривыми, лежащими на инвариантных аналитических многообразиях одного или двух измерений в многообразии М. Например, в случае проблемы двух тел все движения будут периодическими и упомянутые инвариантные многообразия в М будут представлять собою замкнутые кривые. В интегрируемых случаях (см. § 12,13) специальные аналитические соотношения достаточны для того, чтобы дать полное представление о движениях и об их взаимоотношениях.
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 147 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed