Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
dt — ? ? dt dt — Ц 5
dx[ dU dy' dU dzf mw dU
dt dx’ dy' dz
Я dt II drj II d(> II
(10)
В этих новых переменных уравнения (5) количества движения можно считать удовлетворенными тождественно, в то время как интегралы площадей принимают вид:
m{yz' - zy') + (i(r)C - Cv') = a,'
m(zx' - xz') + /x(C?' - |C') = b, > (11)
m(xy' - ух') + ц{?ц' - r)g) = c, j
а интеграл энергии будет:
i m{x'2 + у’2 + z'2) + i//(^'2 + r]'2 + C'2) = U-K. (12)
Легко видеть, что на уравнения (10) можно смотреть как на урав-
нения движения в пространстве двух частиц с координатами (ж, у, z)
Проблема трех тел
263
и (?, г/, С) и массами тп и /х соответственно, в консервативном поле сил с потенциальной энергией, равной —U. Эти уравнения могут быть также выведены из лагранжева или гамильтонова вида уравнений при помощи вариационных принципов (см. главу II).
§ 4. Равенство Лагранжа. Положим
2 m0mir| + m0m2rl + m1m2rl 2,2 мо\
R = --------------jg-------------- = + pp, (13)
где
г2=*2+у2+Лр2=^+Ч2+С2. (14)
Если мы теперь подставим в (13) явные выражения для г2 и р2,
полученные из (14), и дважды продифференцируем, то, пользуясь формулами (10) и (12), получим следующее равенство, принадлежащее Лагранжу:
?0-= 2(U - 2К). (15)
Нужно заметить, что U однородно (размерности —1) относительно ж, у, z, 77, С, так что
хШ+у%+*f+<Ж+r>%+cf = ~и-
§ 5. Неравенство Сундмана. Для того, чтобы прийти к неравенству Сундмана, будем искать верхнюю границу выражения (dR/dt)2, где ж, у, 2, ?, 77, С мы будем рассматривать как данные количества, в то время как ж', ?/, z', 77', ?' будем изменять по произволу, но так, что-
бы они давали определенное заданное значение постоянной энергии К и постоянным интегралов площадей а, Ь, с. Это — чисто алгебраическая задача.
Имеем
RR* = тп/V + ррр',
откуда
R2Rt2 = (гаг2 + /хр2)(гаг'2 + /хр/2) - 7гг/х(гр' - рг')2, что можно написать иначе в виде
Д'2 = тог'2 + Мр'2 - ^(Гр' - рг')2.
264
Глава 9
Кроме того, имеем очевидные тождества:
%'2 + у'2 + zf2 — rt2 + \{yzf — zy')2 + (zxf — xz')2 + (xyf — yx')2],
+ v'2 + c'2 = p'2 + \ [(vC - Wf + (tf - tf)2 + (tf ~ tf )2] ¦ p2
Умножая два последних уравнения на т и /i соответственно и вычитая их почленно из предшествующего уравнения, получим в результате уравнение
R'2 + Р = 2{U - К), (16)
где Р (минимум которого мы должны теперь искать) представляет со-
бою сумму семи квадратов:
Р = & [(yz' - zy')2 + (zx' - xz')2 + (xy' - yx')2] + ii [(tf - W)2 +
+ (tf - tf )2 + (tf - tf )2] + ^(rp' - pr')2- (17)
Здесь мы воспользовались интегралом энергии (12).
Из этого соотношения, принадлежащего Сундману, мы можем вывести неравенство, играющее основную роль в его работе, а также в настоящей главе.
Если мы напишем
W = yz'-zy', V = f]C,-Cv', то из формулы (17) видно, что Р содержит два члена вида
s = Hlw2 + -^V2,
г р
тогда как первый интеграл площадей дает
mW + fj,V = а.
Легко показать, что наименьшее значение выражения S, если W и V изменяются так, что предыдущее равенство остается справедливым, а г и р остаются постоянными, будет a2/R2. Подобным же образом Р будет содержать еще две аналогичные пары членов с минимальными
Проблема трех тел
265
значениями сумм, равными b2/R2 и с2/R2 соответственно. Отсюда мы заключаем, что справедливо неравенство
Исключим теперь U из равенства (16) Сундмана и равенства (15) Лагранжа. Мы получим в результате исключения формулу:
откуда, применяя неравенство (18), получим требуемое неравенство
Если мы определим вспомогательную функцию Сундмана формулой
то неравенство (20) дает нам возможность написать соотношение
Здесь Н возрастает (или, по крайней мере, не убывает) при возрастании R и убывает (или, по крайней мере, не возрастает), когда R убывает. Этот результат имеет основное значение для последующего.
§ 6. Возможность соударения. До сих пор мы рассматривали решения в обычном смысле. Рассмотрение дифференциальных уравнений показывает, что существует единственное аналитическое решение, при котором координаты и скорости тел принимают заданные значения при t = ?0, при условии, что тела Р0? Pi, Р2 геометрически различны (т.е. никакие два из них не находятся в одной точке. — Ред.). В случае совпадения двух из этих тел или всех трех тел правые части дифференциальных уравнений перестают быть аналитическими или даже определенными, так что мы уже не можем в этом случае применить теоремы существования главы I. Но, согласно полученным там результатам, эти решения могут быть либо продолжены на все значения t,
(18)
где
f = а2 + Ъ2 + с2.
(19)
2 RR" + R'2 + 2 К = Р,
(20)
Я = RR'2 + 2KR + ? К
(21)
Я' = FR' (F ^ 0).
(22)
266
Глава 9
или же, например, при возрастании t продолжение возможно вплоть до какого-то значения t аргумента t.
Рассмотрим эту возможность в свете элементарных теорем существования.
Из восемнадцатимерного многообразия состояний движения, связанного с восемнадцатью зависимыми переменными
Xi, yi, Zi, x'i, y'i, z\ (i = 0, 1, 2),
мы должны исключить три пятнадцатимерных аналитических многообразия
П = 0 (* = 0,1,2).
