Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Любая неинтегрируемая проблема транзитивного типа может, однако, считаться «решенной», если для нее можно указать специальный алгоритм, достаточно могущественный для разрешения всех вопросов о типах и распределении движений.
Я собираюсь в этом параграфе построить такой алгоритм для транзитивной геодезической проблемы на специальной аналитической поверхности отрицательной кривизны. Представляется весьма вероятным, что полученные здесь результаты окажутся типичными во многих отношениях для общего случая транзитивной проблемы; эти результаты легко обобщить на случай любой замкнутой аналитической поверхности отрицательной кривизны. Мы можем дать здесь только интуитивное обоснование полученных результатов. Что же касается техники, то мы можем отослать читателя к замечательным работам Адамара1 и Морса2, методы и идеи которых играют главную роль в рассматриваемом здесь построении.
Представляется маловероятным, чтобы какой-нибудь подобный алгоритм существовал для геодезической проблемы на замкнутой аналитической поверхности положительной кривизны.
Поверхность, которую мы будем в дальнейшем рассматривать, определяется уравнением:
z2 = 1 — е2 sin2 iх sin2 (е > 1),
где ж, у, z — прямоугольные координаты точки, причем мы условимся
1 Hadamard, «Les surfaces a courbures opposees et leur lignes geodesiques», Journ. de Math., ser. 5, vol. 4, 1898.
2Morse, «Recurrent geodesics on a Surface of Negative Curvature», Trans. Amer. Math. Soc., vol. 22, 1921 и «А Fundamental Class of Geodesics on Any Closed Surface of Genus Greater Than One», Trans. Amer. Math. Soc., vol. 26, 1924.
Системы с двумя степенями свободы
241
считать, что все точки
(ж ± 2&7Г, у ± 21тг) (к, I = 0, 1, 2, ...)
соответствуют одной и той же точке на нашей поверхности. Это соглашение законно, потому что линейная группа параллельных переносов
ж = х ± 2ктг, у = у ± 2/7Г, z = z
переводит нашу поверхность в себя. Основной областью изменения ж, у будет тогда квадрат, определяемый неравенствами
О ^ х < 27г, 0 ^ у < 2тг.
Уравнение поверхности можно переписать в виде
• 2 1 • 2 1 1 — z2
sin 2'TSm 2У= е2 •
Следовательно, при любом ?0, таком, что |z0| < 1, след данной поверхности на плоскости z = Zq будет состоять из выпуклого, симметричного, аналитического овала, лежащего внутри основного квадрата и имеющего свой центр симметрии в центре этого квадрата. Когда zq возрастает по абсолютной величине, этот овал аналитически расширяется, а при Zq = dzl превращается в основной квадрат. Легко убедиться непосредственно или на основании вышеприведенных качественных рас-суждений, что эта поверхность всюду аналитическая и имеет отрицательную кривизну везде, кроме точек поверхности, соответствующих сторонам ограничивающих квадратов и z = ±1.
Связность этой замкнутой поверхности легко определить. Если мы возьмем ее верхнюю половину z ^ 0 и присоединим к ней внутренность экваториального овала, то убедимся, что верхняя половина нашей поверхности гомеоморфна поверхности тора с одним отверстием в ней. Нижняя половина будет, конечно, гомеоморфна верхней. Таким образом, вся наша поверхность гомеоморфна поверхности тора с ручкой, т. е. поверхности рода 2.
Основное свойство такой поверхности отрицательной кривизны состоит в том, что любые две заданные точки А, В могут быть соединены одной и только одной геодезической дугой АВ данного топологического типа.
Если мы применим полное изображение в пространстве ж, у, z при помощи бесконечного количества конгруентных экземпляров этой поверхности, то этот результат означает, что любая непрерывная линия на поверхности, соединяющая А с В, может быть деформирована в единственную геодезическую дугу.
242
Глава 8
Постараемся ввести символику, которая дала бы нам возможность изобразить тип любой дуги АВ. Рассмотрим проекцию данной поверхности на экваториальную плоскость z = 0. Эта проекция будет покрывать дважды всю плоскость, кроме частей, лежащих внутри каждого геодезического овала на экваториальной плоскости. На рис. 9 эти овалы изображаются кругами. Подобно этому, горизонтальные и вертикальные отрезки, принадлежащие сети квадратов, имеющих вершинами центры этих овалов, будут, очевидно, соответствовать замкнутым геодезическим линиям.
Предположим, что проекция точки А лежит внутри какого-нибудь квадрата нашей сети и что же имеет место для точки В. Когда точка Р движется вдоль АВ от А к В, ее проекция описывает непрерывную кривую на плоскости ж, у. С другой стороны, если нам дана эта проекция и указано, в каких точках, лежащих на геодезических овалах, точка переходит с верхней половины поверхности (где z > 0) на нижнюю (z < 0), то этим путь АВ полностью определен.
Пусть символ х обозначает пересечение точкой Р вертикального отрезка нашей сети в направлении положительных ж, а ж-1 — пересечение в противоположном направлении. Точно так же символами у и у-1 мы обозначим пересечение горизонтального отрезка соответственно в положительном и отрицательном направлениях оси у. Далее, из какой-нибудь точки внутри квадрата достижимы, не пересекая сторон квадрата, четыре квадранта геодезических овалов, а именно: в левом нижнем углу, правом нижнем углу, правом верхнем углу и левом верхнем углу квадрата. Обозначим соответствующие переходы через точки этих овалов в направлении положительных z (т. е. с нижней стороны на верхнюю) через w2, W3, ^4 соответственно, а переходы в противоположном направлении через w^1, Щ1, wJ1 соответственно. Очевидно теперь, что всякая дуга АВ соответствует символу, образованному конечной комбинацией этих двенадцати символов, написанных в том же порядке, в каком встречаются соответственные пересечения. Обратно, если дан любой такой символ (ограниченный единственным условием, что за всяким будет следовать wj1, и наоборот), то ему соответствует единственный (с точностью до непрерывных деформаций) путь. Причиной указанного ограничения является то, что точка Р движется из области z < 0 в область z > 0 и затем из области z > 0 в область z < 0.
