Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Остающееся открытое многообразие простирается в бесконечность и ограничено многообразиями г* = 0.
Согласно результатам, полученным в главе /, любое данное движение мы можем безгранично (аналитически) продолжать за исключением того случая, когда при приближении t к некоторому критическому значению t соответственная точка Р стремится к границе вышеуказанной открытой области.
Предположим теперь, что наименьшее из трех взаимных расстояний тел Pq, Pi, Р2 не стремится к нулю, когда t приближается к ?; при этом не предполагается, что какое-нибудь определенное из этих расстояний, например, Р0Р1 остается наименьшим вблизи t. Мы можем в этом случае найти положения наших трех тел для ?, сколь угодно близкого к ?, при которых все три их взаимные расстояния превосходят некоторую положительную постоянную d. Но из соотношения (4), в котором
JJ ^ ГП()ГП1 + Ш0ш2 + ГП1ГП2 и < d
легко видеть, что скорости х\, yriy z\ ограничены. Физически очевидно, что при таких начальных условиях продолжение движений возможно для интервала времени, не зависимого от частных значений взаимных расстояний или скоростей, благодаря характеру входящих сюда сил; мы не будем останавливаться на получении явного выражения для этого интервала на основании нашей первой теоремы существования. Таким образом, мы приходим к противоречию.
Аналитическое продолжение какого-нибудь данного движения в проблеме трех тел всегда возможно, если только при приближении времени t к некоторому значению t наименьшее из трех взаимных расстояний не стремится к нулю.
Проблема трех тел
267
Сейчас нам целесообразно вернуться к рассмотрению равенства Лагранжа (15). Когда t приближается к ?, то U стремится к положительной бесконечности. Следовательно, если мы представим R2 как функцию от t на плоскости, взяв t и R2 за прямоугольные координаты, то соответствующая кривая будет обращена вогнутостью вверх при t, достаточно близком к t. Следовательно, R2 либо делается бесконечным, либо стремится к конечному положительному пределу, либо к нулю.
Первый из этих случаев, очевидно, невозможен, так как тогда одно из тел удалялось бы бесконечно далеко от двух других, которые стремились бы к совпадению, когда t приближается к ?, а такое положение вещей невозможно благодаря тому, что силы, действующие на далекое тело, ограничены по величине.
Во втором случае очевидно, что при приближении t Kt какое-то одно определенное из расстояний стремится к нулю, тогда как два других стремятся к одному и тому же предельному значению. Это есть случай соударения двух тел. Так как силы, действующие на третье тело, конечны в моменты, близкие к соударению, то оно приближается к определенному предельному положению; и следовательно, два других (соударяющихся) тела тоже стремятся к определенному положению, потому что центр тяжести системы фиксирован в начале координат.
В третьем случае мы имеем, разумеется, тройное соударение, которое произойдет в начале координат. Если, однако, постоянная / не равна нулю, то тройное столкновение не может произойти; это следует тотчас же из формулы (22). В самом деле, мы видим, что d(R2)/dt будет отрицательным при t, близких к t в случае тройного столкновения, так как d2R2/dt2 положительно, согласно равенству Лагранжа (15). Следовательно, Н будет убывать вместе с R (или по крайней мере не возрастать), когда t стремится к t. Но рассмотрение выражения Н [формула (21)] показывает нам, что при / / О Н делается положительно бесконечным, когда R приближается к нулю. Таким образом, мы пришли к противоречию.
Когда t приближается к t, то либо имеет место двойное соударение определенных двух тел в определенной точке, причем третье тело приближается к определенной точке? отличной от точки соударения, или же тройное соударение всех трех тел в их общем центре тяжести. Если, однако, f не равно нулю, т. е. если постоянные площадей данных трех тел не все равны нулю, то тройное соударение не может произойти ни при каком t.
С этого момента мы будем предполагать, что / > 0, и, таким образом, исключим тройное соударение.
Мы можем считать, что допущение / > 0 просто заставляет нас ограничиваться рассмотрением общего случая. В самом деле, легко по-
268
Глава 9
казать, что в случае, когда / = 0, движение происходит в некоторой постоянной плоскости. Таким образом, здесь мы можем сразу привести нашу систему к системе низшего порядка. Более того, если / = О, то момент количества движения относительно оси, перпендикулярной к плоскости движения в центре тяжести системы, равен нулю. Таким образом, мы исключаем только частный случай движения в плоскости. Этот исключенный случай представляет большой интерес и заслуживает внимательного изучения сам по себе.
§ 7. Неограниченное продолжение движений. В рассматриваемом нами случае очевидно, что всякое движение может быть продолжено до двойного соударения. Мы хотим здесь рассмотреть вкратце случай двойного соударения для того, чтобы сделать физически правдоподобной возможность продолжения движения за двойное соударение некоторым определенным образом. Аналитические методы, достаточно мощные, чтобы справиться с особенностью двойного соударения, были впервые разработаны Сундманом (цитировано выше). После этого Леви-Чивита1 нашел другой подход к вопросу, не выходящий из области уравнений обычного динамического типа. Здесь мы не станем приводить все рассуждения с требуемой строгостью, а аналитические детали рассуждений читатель может найти в упомянутых работах Сундмана и Леви-Чивита.
