Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Повторяя вышеприведенное рассуждение, мы докажем существование частных производных х±, ... , хп по ... , включительно до порядка fi.
В случае, если функции Xi(xi,...,#n) имеют конечные частные производные до порядка ц включительно, причем частные производные порядка удовлетворяют условию Липшица; то составляющие #i, ... , хп, рассматриваемые как функции от х... , , t — to,
обладают непрерывными частными производными до порядка \х включительно.
Важным частным случаем этой теоремы, с которым мы только и будем иметь дело в дальнейшем, будет тот случай, когда функции X* имеют непрерывные частные производные по х\, ... , хп любого порядка. В этом случае составляющие ж*1, ... , хп будут иметь непрерывные частные производные любого порядка по ж?, ... , t — to
Если кроме того функции Х{ суть аналитические функции от Ж1,... ,хп, то составляющие х\, ... , хп, рассматриваемые как функции от х... , t — to будут аналитическими функциями этих переменных.
Наметим вкратце доказательство этого важного факта.
Заметим прежде всего, что достаточно показать, что единственное решение уравнений (1), обращающееся в х° при t — 0, имеет в качест-
Физическое рассмотрение динамических систем
25
ве составляющих аналитические функции от хt. Как и во второй теореме о непрерывности, общий случай мы можем привести к этому, заменив в дифференциальных уравнениях t на tf = t — to.
Далее, полагая
х[ =Xi -ж?, ... , х'п = хп-х°п
и подставляя х[, ... , хгп в наши уравнения, мы видим, что мы можем ограничиться доказательством аналитичности xi, ... , хп в окрестности начала координат. Но так как Х{ в этом случае суть аналитические функции в окрестности начала, то мы можем написать:
*,•« ----------------- (г = 1, .... п),
_ Xi + . . . + Хп
Г
где М — достаточно большое положительное количество, а г — достаточно малое положительное количество. Написанная формула означает, что все коэффициенты разложения Х{ в ряд по степеням Х{ не превосходят по абсолютной величине соответствующих коэффициентов разложения в ряд правой части1.
Рассмотрим вспомогательную систему дифференциальных уравнений
dxj _ _______М________
dt ^ Х\ -Ь ... Н- хп
г
единственным решением которой, удовлетворяющим условию
X! = Ж°, . . . Хп= Ж°
при t = 0, будет, очевидно,
ж< = ж-1 + и (i = 1, ... , п), где и определяется уравнением
( ж? + ... + х® \ пи2 и г
И - ^—----------М u-^r = Mt.
В этом случае xi, ... , хп очевидно, аналитические функции от х®, ... , х°, t; далее, явное выражение для xi, ... , хП7 получаемое последовательным дифференцированием вспомогательной системы уравнений и подстановкой в полученные равенства значений х° = ... =
Доказательство соотношения этого типа см., например, у Е. Picard, Traite сГAnalyse, т. 2, гл. 9.
26
Глава 1
= = t = 0 показывает, что в разложении жх, ... , жта по степе-
ням #5, ... , ж^, ? все коэффициенты положительны.
Но из написанного выше неравенства, очевидно, следуют подобные же неравенства между любой частной производной Х^ и соответственной частной производной правой части вспомогательной системы уравнений. Таким образом мы убеждаемся, что ряды, составленные посредством последовательного дифференцирования уравнений (1) по ж?, ... , ж^, t и подстановки в полученные равенства х\ = ... = х®п = = t = 0 сходятся, потому что коэффициенты их членов меньше по абсолютной величине коэффициентов ряда, абсолютная сходимость которого нам известна. Следовательно, эти ряды определяют аналитические функции #1, ... , жта, причем из способа построения этих функций очевидно, что все разности
Xt(x 1, ... ,хп)-^ (г = 1, ... , п),
рассматриваемые как функции от ж?, ... , ж^, ?, обращаются в точке ж5 = ... = = t = Ов нуль вместе со всеми своими частными про-
изводными любого порядка. Отсюда следует, что эти разности обращаются в нуль тождественно. Значит, полученные этим формальным способом ряды дают единственное искомое решение дифференциальных уравнений (1), и аналитичность решения, таким образом, доказана.
§6. Принцип сохранения энергии1. Консервативные системы. Для многих динамических систем геометрическая конфигурация задается га координатами </i, ... , qm пространственного характера, а состояние системы определяется этими координатами и скоростями Qii •* • ? гДе Qi = dqi/dt. Про такую систему говорят, что она обладает т степенями свободы. Этим координатам могут быть соотнесены обобщенные внешние силы причем работа W этих сил определяется формулой:
771
dW = Y,QidQi,
3 = 1
где символ дифференцирования имеет свое обычное значение.
Величины Qi мы будем предполагать вещественными, однозначными аналитическими функциями координат, скоростей и ускорений;
1 Исторические и критические замечания относительно этого принципа см. в статье A. Voss в «Encyclopadie d. mathematischen Wissenschaften» или во французской версии этой статьи Е. и F. Cosserat. Я представил изложенные здесь результаты в Chicago Colloquium в 1920 г. Нижеследующая трактовка принципа существенно отличается от всякой другой, которую я знаю.
Физическое рассмотрение динамических систем
