Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
гп
ЕЗД = °-
3 = 1
Физическое рассмотрение динамических систем
43
Из очевидного соотношения
где W обозначает функцию, ассоциированную с L, т. е. функцию
мы заключаем, что W постоянно уменьшается, стремясь к предельному значению Wo. При этом предполагается, что функция работы не может уменьшаться до — оо.
Рассмотрим теперь предельные движения для данного движения. Вдоль этих движений W принимает свое предельное значение Wo и сумма
конечно, обращается в нуль.
Рассеивающая система этого типа стремится при своем свободном движении либо к равновесию, либо7 в более общем случае, к движению консервативной системы с меньшим числом степеней свободы.
т
3 =1
Глава 2
Вариационные принципы и их применение
§ 1. Алгебраический вариационный принцип. С точки зрения формальной динамики чрезвычайно большое значение имеет тот факт, что дифференциальные уравнения могут быть, вообще говоря, получены из требования, чтобы «вариация» некоторого определенного интеграла обращалась в нуль.
Для того, чтобы выяснить природу вариационного метода, рассмотрим аналогичную проблему, касающуюся обыкновенных maxima и minima.
Пусть нам дано п уравнений с п неизвестными
ft(x 1, ... , хп) = 0 (г = 1, ... , га),
левые части которых fi могут быть выражены как частные производные одной и той же вещественной аналитической функции
л=й <i=i-•••’»>•
Тогда мы имеем частный случай системы п уравнений с п неизвестными, получаемый, когда мы ищем maxima и minima функции F, и эта система может быть записана в виде одного символического уравнения
dF = О,
означающего, что при значениях переменных ... , удовлетворяющих нашим уравнениям, функция F «стационарна».
Предположим теперь, что в наших п уравнениях мы заменим переменные Xi на новые причем зависимость между и у( однозначная и аналитическая. Так как стационарность какого-нибудь значения функции F, очевидно, не зависит от того, в какой системе переменных F выражена, то решения первоначальной системы уравнений могут быть выражены формулой dF = О в новых переменных совершенно так же, как и в старых. Таким образом мы обладаем методом, позволяющим, вообще говоря, получать эквивалентные уравнения в новых переменных намного проще, чем путем непосредственной подстановки.
Вариационные принципы и их применение
45
В тех случаях, когда нельзя представить данные уравнения в этой специальной форме, часто бывает возможным найти комбинации этих уравнений, которые могут быть представлены в этом виде.
Кроме того любая, не исключительная система п уравнений относительно ... , хп
fi{x 1, ... , хп) = 0 (г = 1, ... , п) эквивалентна системе 2п уравнений, полученных из dF = 0, где
п
F — 53 /rT(n+j)*
3 = 1
Эта эквивалентность имеет место всегда при единственном условии, что определитель \dfi/dxj\ ф 0. Действительно, из получаемых 2п уравнений находим, что ?n+i, ... , х2п должны равняться нулю, а х\, ... , хп должны удовлетворять требуемым уравнениям.
Отсюда можно заключить, что значение аналогичного вариационного метода в динамике является также в значительной мере формальным.
§ 2. Принцип Гамильтона. Определим понятия «стационарного интеграла». Пусть уравнения
Xi = Xi(t, Л) (г = 1, ... , т)
представляют систему функций, зависящих от параметра Л, причем при Л = 0 мы получаем данную систему функций:
Xi(t, 0) = Xj(t) (г = 1, ... , га).
Допустим, что функции Xi(t, Л) непрерывны и имеют непрерывные первые и вторые частные производные по t и Л, а также, что достаточно близко к концам рассматриваемого интервала (^о, t±) эти функции обращаются в x®(t) тождественно при любом Л.
Xi(t, А) = x°(t) (to ^ t ^ t0 + е, h - ? ^ t ^ ?i).
В этом случае интеграл ti
I J* F{x 1, ... , хт, х... , хт) dt,
*0
46
Глава 2
где F непрерывна вместе со своими частными производными первого и второго порядка, называется «стационарным» при Xi = x^(t), если для всякой системы функций описанного типа имеем:
61 =
(Я
д\
SX = 0.
Это равносильно уравнению
tl
/
to
3 = i
Л=0
OF dx'j дхfj д\
dt = 0
дх ¦
при Л = 0. Интегрируя по частям и заметив, что Sx{ = -^г$Х обраща-
ОЛ
ются в нуль на концах интервала (?q5 h), получаем уравнение, эквивалентное предыдущему
}. т
3F
dxj
dt ( 8F dt \dx'j
~)
Sxj dt — 0.
to 3 1
В частности, мы можем взять
Xi (t, X) = x®(t) XSxi (i = 1, ... , га),
где функции 8xi, суть произвольные непрерывные функции от t с непрерывными производными первого и второго порядка, подчиненные только условию, что они обращаются в нуль достаточно близко от обоих концов интервала (to, t\).
Таким образом, найдем, что требование стационарности интеграла I равносильно системе га дифференциальных уравнений Эйлера от-
носительно х
го .
1, ... , , m.
В самом деле, написанный интеграл может обращаться в нуль для всех допустимых значений функций Xi(t, Л), только если удовлетворены эти уравнения1 (1).
хСм., например, О. Bolza, Vorlesungen iiber Variationsrechnung, гл. 1, где читатель найдет более полные формулировки и доказательства.
Вариационные принципы и их применение
47
Но эти т дифференциальных уравнений совершенно тождественны с уравнениями Лагранжа, в которых только L заменено на F. Отсюда мы выводим следующий важный результат.
