Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Перед тем, как перейти к дальнейшим вопросам, заметим, что для свободного движения системы по определению должно быть Qi = ... = = Qn = 0 и, следовательно, уравнения движения принимают вид:
где величины Щ удовлетворяют соотношению (7). Из этих уравнений непосредственно следует:
Движение свободной консервативной динамической системы совпадает с движением лагранжевой системы, к которой приложена система сил, не производящая работы.
Свободная консервативная динамическая система, очевидно, имеет интеграл работы W = const, который в силу соотношения (5) может быть написан в другой форме, а именно:
Лагранжевы и лишенные энергии системы были определены через условия, накладываемые на внешние силы. Эти определения не исключают друг друга. В самом деле, поставим себе вопрос: при каких условиях динамическая система будет лагранжевой и одновременно лишенной энергии? Так как она лишена энергии, то, очевидно,
откуда мы находим, что для нее самая общая функция L будет иметь вид:
Но поскольку наша система является лагранжевой, то можно положить
Итак, для того чтобы система была одновременно обоих типов, обобщенные внешние силы должны иметь указанный частный вид.
А.
dt
-тг- = -Ri (г = 1,... , т), oqi
га
w = W0+ W2 + ... = О,
т
3=1
Ri= 0
при всех i и, таким образом, найти
(г = 1,... , га).
Физическое рассмотрение динамических систем
31
Интересно отметить, что в случае, когда га = 1, из уравнения (7) следует, что Ri = 0 , так что всякая консервативная динамическая система с одной степенью свободы будет лагранжевой системой. Подобным же образом, если га = 2, то внешние силы могут быть представлены в виде
где Л — произвольная функция координат, скоростей и ускорений.
§ 7. Замена переменных в консервативной системе. Первоначально координатами qi консервативной системы могут быть фактические расстояния, а силами Qi — силы, действующие в направлении этих координат. Но в физике в большинстве случаев бывает невыгодно ограничиваться одной системой координат.
Определим измененные внешние силы Qi7 соответствующие новым координатам qi7 посредством уравнений
Принимая это определение и переходя еще раз к новым переменным q^ мы можем выразить новые силы Q- через Qi подобными же формулами. Полученные таким образом выражения для г будут совпадать с теми, которые мы получили бы, непосредственно переходя от Qi к Это свойство непосредственно вытекает из вышеприведенных определений.
Таким образом, Qi оказываются однозначно определенными для любой системы координат.
Заметим, что в случае перехода от одной системы прямоугольных координат к другой вышеприведенные формулы, выражающие силы Qi через совпадают с формулами, полученными применением обычных законов сложения сил. В общем же случае мы можем сказать, что эти формулы определяют в известном смысле обобщенные составляющие силы.
Далее, из равенства
т
(8)
Ш
т
dW = ^2Qjdqj = ^2Qjdqj
3 = 1
3=1
следует, что динамическая система, консервативная в первоначальной системе координат, останется по нашему определению консервативной
32
Глава 1
в новых координатах. Кроме того новая функция работы будет совпадать с прежней (с точностью до постоянного слагаемого); и далее, так как формулы преобразования скоростей
91 = ?
3 =1
линейны и однородны в скоростях, то, следовательно, различные компоненты Wo, W2, ... функции W остаются неизменными.
Если мы условимся для определенности всегда выбирать функцию L одинаковым образом, а именно так, чтобы она не содержала j членов, линейных относительно скоростей, то главная функция тоже не будет зависеть от выбора системы координат.
Определим теперь Ri из формулы
П - d дЬ\ dL ,
где L есть главная функция, выраженная через новые переменные qi7 q Легко доказать формальное равенство
?
3=1
д(р
щ
dip
dqj
dqi dt\dq'J dqt
где (p в левой части есть произвольная функция от дг-, q[.
Для доказательства этой формулы заметим, что из написанных выше линейных соотношений между q[ и q[ следует
Н = Н d (dqj
dq': dqj’ dqj dL \<97/,
(i, j = 1,... , m),
откуда для любого i имеем
?
i— 1
d_ ( d}?_ dt \ dq'j
dq.
dq
'2i = y
*п, ^
3=1
At \ _ ЁИ.. A (dii\
dt \9q'j dq,) dq'j dt\dqj
dt
(dv\_^dv
\ч) и Щ
Щ
dqt
Кроме того имеем также для любого г
у. д(р dqj _ д(р д(р dq'j
^Wj'dq^dq^^Wj'Wi'
Физическое рассмотрение динамических систем
33
Вычитая последнее равенство из предыдущего, получаем требуемую формулу.
Подставив в эту последнюю L вместо у?, убеждаемся, что Щ получаются из Д*, совершенно так же, как (J- из Qi. Таким образом, мы можем формулировать следующий общий результат.
Если от переменных gi, ... , qm консервативной динамической системы перейти к новой системе переменных ... , qm1 то динамическая система остается консервативной с прежними значениями функций L, W, в то время как величины Qi и Щ преобразуются в новые выражения посредством формул (8). В частности; если система была лагранжевой или лишенной энергии в первоначальных переменных, то она остается такой же в новых переменных.
§ 8. Геометрические связи. Теперь мы имеем возможность рассмотреть систему с «геометрическими» связями. Пусть различные геометрические точки данной консервативной системы фиксированы, или должны оставаться при своем движении на данных кривых или поверхностях, или же связаны между собою различными негибкими и не имеющими массы стержнями.
