Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Естественным обобщением предыдущих рассуждений, на котором мы не будем здесь останавливаться, можно показать, что одна материальная частица, лежащая на ш-мерном многообразии, определенном квадратичной дифференциальной формой, находящаяся в поле сил, вызванном потенциальной функцией на поверхности, и подчиненная кроме того гироскопическим силам, зависящим от какой-нибудь линейной функции скоростей на поверхности, будет типа Лагранжа. Ее функция L будет квадратичной функцией от скоростей. И обратно, всякая лагранжева система с т степенями свободы и с функцией L, квадратичной относительно скоростей, может быть представлена движением материальной частицы на таком m-мерном многообразии.
Следовательно, движение любой динамической системы с т степенями свободы можно представить изоморфным движением одной обобщенной частицы на надлежащей m-мерной поверхности.
§10. Внешняя характеризация лагранжевых систем1. В этом параграфе мы намерены охарактеризовать один важный тип лагранжевых систем через некоторые простые свойства внешних сил. А именно, мы собираемся охарактеризовать такие динамические системы, для которых лагранжева функция L — квадратичная функция от скоростей, не имеющая членов первой степени, т. е. L имеет вид Т — U, где Т — однородная квадратичная функция скоростей, a U зависит только от координат. Эти «регулярные» системы составляют важный класс динамических систем. Легко видеть, что регулярные системы остаются таковыми при любом преобразовании координат.
Мы приступим теперь к формулировке ряда свойств, характеризующих в совокупности этот класс систем.
Начнем со следующего свойства.
I. Внешние силы изменяются линейно при изменении составляющих ускорений.
Это свойство, очевидно, можно записать так:
1 Содержание этого параграфа было представлено Chicago Colloquium в 1920 г. Аналитическую характеризацию лагранжевых систем в случае, когда внешние силы линейны относительно скоростей, см. у Е. Whittaker, Analytical Dynamics, стр. 45.
ш
3=1
Физическое рассмотрение диналгических систем
37
где dij и hi — выражения, не содержащие ускорений.
II. Принцип взаимности1. Изменение ускорения q”, вызванное каким-нибудь изменением %-й силы Qi7 равно изменению ускорения q"7 вызванному таким же изменением j-й силы Qj (i, j — 1, ... , га).
Для того чтобы записать это свойство в виде формулы, положим, что Qk получает приращение Q, причем все qi и q[ остаются неизменными.
Тогда написанные выше выражения дадут:
т
Qdik = X (*' = 1, ... , т),
3 =1
где Sik = 1, если г — к, и <5^ = 0, если i ф к, а А обозначает, как всегда, приращение.
Предположим теперь, что Qi получает такое же приращение Q. Будем иметь, подобно предыдущему,
т
Q&U = ^ &ijA2qj •
3 =1
Если мы положим, что определитель |а^| не равен нулю, то эти уравнения можно разрешить относительно Aq'J и получить для всех г, к, I:
т
Alq^ — ^ ^ O'ijQfijk — ^2Qi — O'ilQч
3=1
где aij — алгебраическое дополнение элемента aji j-й строки и г-го столбца матрицы \\ciij\\, деленное на определитель |а^|. Из принципа взаимности (свойство II) получим, положив сперва г = /, а потом i = fc, aik = а>ы• Таким образом, алгебраические дополнения элементов определителя |a*j| симметричны относительно г и j, следовательно, симметричны и сами элементы т.е. мы имеем aij = aji для всех г и j.
III. Для семейства подобных движений силы суть квадратичные функции быстроты движения.
Другими словами, пусть = qi(t) (г = 1, ... , га) — движение системы, и положим, что это движение ускорено в отношении Л к 1.
1 Ср. Rayleigh, Theory of Sound, т. 1, гл. 4.
38
Глава 1
Внешние силы тогда будут:
т
«, = ? ai'M Ь ¦¦¦ 1 <lm, Ml, ¦¦¦ , Wm)^2(Ij +
3 =1
+bi(q1: ... , qm, Aq[, , Aq'm),
поскольку координаты qi останутся неизменными, в то время как скорости q[ и ускорения q" увеличатся соответственно в Л и Л2 раз.
Если мы хотим, чтобы эти выражения для Qi были квадратичными функциями Л (r/j, qfi7 q" тут, конечно, совершенно независимые переменные), то функции aij должны быть независимыми от скоростей, a bi должны быть квадратичными функциями таковых. Таким образом, на основании свойства III мы можем написать:
га га га
Qi — aijQj + ^ijkQjQk + bjjQj +
3 = 1 j,k=l j=1
где величины bijk суть функции только координат #i, ... , qm.
Это выражение еще более уточняется при следующем предположении.
IV. Обратимость. Любое движение под действием заданных внешних сил может быть также описано в обратном порядке.
Это значит, что написанное равенство остается верным при замене t на — I. Но при этом скорости q[ меняют знак, а координаты qi и ускорения q" не меняются. Отсюда мы заключаем, что в формулах для Qi члены bijq^ должны отсутствовать, и, следовательно, мы можем написать
га га
Qi = ^ ^ aijQj Н” ^ ] bijkQjQk + j=1 i, k=l
где величины bijk = bikj, bi зависят только от координат.
Все до сих пор использованные свойства I-IV инвариантны по отношению к преобразованию координат qi и относятся к свойствам внешних сил в окрестности некоторой точки с координата-МИ qf, ... , q°m.
При надлежащем выборе координат в точке qf, ... , q^ мы можем привести выражение для Qi,... , Qm к простой форме
