Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Физическое рассмотрение динамических систем
21
Пусть 2/2? •••? 2/Я взяты соответственно равными ^ и 2/J
стремится к х®. Если мы введем обозначения
yi - Xi _ Axi Уп ~ Хп _ Ахп
то п написанных выше уравнении примут вид f^ = i +
to ^
^ = 0 + fY — —dt
Ах° J ^ dxj Ах° ’
to
Аж" = о+
Аж? J r-f Джо
1 to J=1
Для |i — ?o I достаточно малого, в частности, для
|*-*oK 1
2nL
где V есть верхняя граница \dXi/dxj\ в #, как легко видеть, ни один из интегралов, стоящих в правых частях предыдущих равенств, не превосходит Qf/2, где Qf есть максимум \Axj/Ax\\ для всех j в этом интервале t. Подставляя в предыдущие равенства значения t и г, дающие максимум выражения Axj/Ax®, подобно тому, как мы это делали в предыдущем параграфе, получим, что Qf не может быть больше 2. Далее, дифференцируя эти равенства и принимая во внимание, что Q' ^ 2, убедимся, что производные отношений Axi/AxJ по х не превосходят 2nV.
Из этого следует, что мы можем применить теорему Асколи и заставить Ах® стремиться к нулю таким образом, чтобы каждое из отношений Axi/Ax® стремилось к пределу, который мы обозначим через у{. Легко видеть, что эти пределы будут удовлетворять интеграль-
22
Глава 1
ным уравнениям:
Эти условия, очевидно, эквивалентны следующим п уравнениям вариации
Но эти п уравнений и начальные условия, присоединенные к уравнениям (1) и начальным условиям Xi(to) = дают систему 2п уравнений и 2п начальных условий для a?i,... ,жта, г/i,... ,?/п, по отношению к которым имеют место теорема существования и теорема единственности (напомним, что dXi/dxj так же, как удовлетворяют условию Липшица). Поскольку функции гц определяются однозначно, то, следовательно, Ax,i/Ах® стремится к гц7 каким бы образом мы ни устремляли Ах? к нулю1.
Отсюда видно, что для всех г и j частные производные yi = dxi/dxj существуют и удовлетворяют уравнениям вариации и начальным условиям:
Уi(*o) = 0, ... , yj-i(t0) = 0, yj(t0) = 1, ад+iOo) = 0, ... , yn(to) = 0.
Применяя первую теорему о непрерывности, получим, что эти функции dxi/dx® не только существуют, но и непрерывны по х}\ и по t — to.
(3)
и совокупности начальных условий
y1(t0)=l, y2(to) = о, ... , yn(t0) = 0.
ХВ противном случае мы нашли бы по теореме Асколи другую, отличную от первой, систему ?/*, обладающую теми же свойствами.
Физическое рассмотрение динамических систем
23
§ 5. Некоторые обобщения. Вышеприведенные теоремы могут быть обобщены и дополнены в различных направлениях.
Прежде всего рассмотрим случай, когда Х{ суть функции от Xiy ... , хп и параметра с, определенные для всех х в области R и для с' < с < с", равномерно непрерывные в той же области и кроме того удовлетворяющие условию Липшица относительно п + 1 переменных xi, ... , х*п, с. Рассмотрим систему п + 1 дифференциальных урав-
нении
— Xi(x 1, . . . , ХП7 Xn-f-i) (% — 1, . . . , 7l),
dt
dxn-\-i
= О
dt
с начальными условиями
ж»(*о) =х° (г = 1, , п), xn+i(to) = с,
где ж0 находится в R и сг < с < с". Теорема существования, теорема единственности и первая теорема о непрерывности могут быть применены к этим уравнениям. Из этих теорем следует, что единственное решение Xi(t) (i = 1, ... , n + 1) существует и непрерывно по х® и с. Но это решение, очевидно, удовлетворяет уравнениям
^ = Х;(жх, ... ,хп,с) (i = 1, ... , п)
и начальным условиям Xi(to) = х°.
Если Xi кроме того обладает ограниченными первыми частными производными по ж*1, ... , жп, с, удовлетворяющими условию Липшица относительно этих переменных, то по второй теореме о непрерывности dxi/dc будут существовать.
Следовательноу теоремы существования, единственности и непрерывности непосредственно распространяются на случай, когда правые части Xi дифференциальных уравнений (1) содержат один или несколько параметров.
Далее положим, что выражение Х{ содержит t наряду с жх, ... , хп. Рассматривая, аналогично предыдущему, систему дифференциальных уравнений
dx'
= Xi(x i, ... , хп, xn+i) (i = 1, ... , n), dxn+i/dt = 1
с n + 1 начальным условием
Xi(t0) = X1- (г = 1,... , n), Xn+1(t0)=t0,
24
Глава 1
мы видим, что при надлежащем ограничении для t эта система имеет решение и что это решение единственно, если функции Xi(x 1, ... , жта, t) удовлетворяют условию Липшица относительно Х\, ... , жта, ?. Легко формулировать для этой системы также утверждение, соответствующее первой и второй теореме непрерывности.
Таким образом, подобное же обобщение может быть сделано для случая7 когда функции Xi, зависят от времени t.
Далее положим, что X* зависят только от х\, ... , хп и обладают непрерывными частными производными включительно до порядка fj, > 0, причем частные производные порядка fj, удовлетворяют условию Липшица. Приведенное выше доказательство второй теоремы о непрерывности показывает, что данная система (1) дифференциальных уравнений может быть заменена подобной же системой порядка 2п с зависимыми переменными х\, ... , хп и yi, ... , уп, где, например, yi = dx{jdx\\ эта система порядка 2п состоит, разумеется, из данных п уравнений и из п уравнений вариации. Если мы теперь применим вторую теорему о непрерывности к этой дополненной системе, то получим непосредственно, что вторые частные производные д2Xi/дх^дх® и подобным же образом д2 Xif дх®-дх\ существуют и непрерывны. В дополненной системе уравнений правые части будут вообще иметь непрерывные частные производные вплоть до порядка fi — 1, причем последние будут удовлетворять условию Липшица.
