Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
27
таким образом, существует одна и только одна система внешних сил, вызывающая данную систему ускорений при заданной системе значений координат и скоростей. В этом случае переменными, определяющими состояние системы, очевидно, являются 2т координат и скоростей.
Конкретной моделью подобной динамической системы может служить скрытый в стене механизм, управляемый системой т стержней, выступающих над поверхностью стены. Если стержни выступают на длины gi, ... , qm, то Q будут обыкновенные силы, приложенные к этим стержням в направлении изнутри.
Основная гипотеза, выражающая принцип сохранения энергии, состоит в том, что если при каком-нибудь приложении этих внешних сил динамическая система проходит замкнутый цикл, так что конечные значения 2т величин qi и q[ равны начальным значениям, то полная работа, совершенная внешними силами на протяжении всего цикла, равна нулю. Всякую систему, удовлетворяющую этому условию, мы будем называть консервативной.
Консервативные динамические системы являются лишь идеальным случаем по отношению к системам, действительно встречающимся в природе, тем не менее значение их чрезвычайно велико.
Рассмотрим теперь свойства подобной консервативной системы. Если она проходит цикл ABC А и измененный цикл АВ'СА (которые могут быть изображены графически замкнутыми кривыми в 2га-мер-ном пространстве с координатами qi и ^), то работа, совершенная силами на отрезках ABC и АВ'С обоих циклов, одинакова, а именно, равна работе, совершенной на общей части С А, взятой с обратным знаком. Таким образом, работа, совершенная на пути от А до С, не зависит от самого пути, а только от значений gi, ... , </ш, q[, ... , qfm в точке С.
Дифференцируя это равенство по f, получим следующее фундаментальное тождество, выраженное в 3т переменных q":
/lit q
X! Qi = W(qi, ... ,qm, q[, ... , q'm) ^
A
Это соотношение должно иметь место, если мы хотим, чтобы соблюдался принцип сохранения энергии, и, наоборот, легко видеть, что из соотношения (4) следует принцип сохранения энергии.
28
Глава 1
Этому тождеству можно придать интересную явную форму. Для этой цели будем искать такую функцию L от 2га переменных g*, чтобы для нее было справедливо тождество:
?
3 = 1
d I dL ) dL
dt \ dq'j J dqj
з — Z—I \ dqj-*3 dq>. 4 f
Сравнивая коэффициенты при q" обеих частей, получим m условий:
V = Ш-U 44 j ~ Ч ’
которые все будут удовлетворены, если
т
U. dqi
в чем можно убедиться, дифференцируя по Сравнивая в обеих частях остающиеся члены, независимые от </", получаем новое условие:
д2Ь 1 1 _ 0L г _ ^ 8W ,
дщд^ ? дц9* - ? dqj ^
которое, очевидно, будет удовлетворено, если L удовлетворяет условию (5).
Всегда можно найти функцию L, удовлетворяющую условию (5). Для этой цели заметим, прежде всего, что если Qi, ... , Qm можно разложить в ряд по возрастающим степеням q[, ... , q[n, то соответству-
ющее разложение W не будет содержать членов первой степени. Иначе говоря, мы имеем
W = Wo +* + W2 + W3 + ... ,
где Wn обозначает сумму членов гг-ой степени относительно скоростей #1, ... , q'n в разложении W. Действительно, если бы в этом разложении присутствовало Wl9 то в правой части фундаментального тождества (4) имелись бы члены, не содержащие скоростей gj , в то время как левая часть этих членов не имеет. Если мы теперь подставим в уравнение в частных производных (5) написанное выше разложение W и соответствующее разложение L:
Физическое рассмотрение динамических систем
29
и примем во внимание, что согласно теореме Эйлера об однородных функциях
то, сравнивая члены одинакового порядка относительно скоростей, получим
в то время как L\ остается произвольной.
Всякую такую функцию L можно назвать «главной функцией», связанной с данной произвольной консервативной системой. Если в разложении функции L в ряд по степеням скоростей отсутствуют члены первой степени, то такая функция L обладает некоторыми важными свойствами.
Определяя функции Щ посредством уравнений
Обратно, если Qi, ... , Qm могут быть выражены в форме (6) так, чтобы имело место равенство (7), то для такой системы справедлив закон сохранения энергии.
Если W есть функция работы консервативной динамической системы и если L — соответствующая главная функция, то обобщенные внешние силы Qi могут быть выражены в форме (6) и (7).
Это последнее утверждение может быть сформулировано в несколько ином виде. Как это обычно делается, назовем динамическую систему, для которой Щ = 0 (г = 1, ... , га), «лагранжевой системой». Систему же, для которой W = 0 назовем «системой, лишенной энергии». Это последнее название оправдывается тем, что любые внешние силы, приложенные к такой системе, не произведут никакой работы. В этом случае мы можем также положить L = 0. Тогда только что приведенное утверждение может быть высказано в такой форме:
т
(6)
мы замечаем, что согласно определению функции L
т
(7)
30
Глава 1
Всякая консервативная динамическая система имеет внешние силы, которые могут быть представлены в виде суммы внешних сил «лагранжевой системы» и внешних сил «системы, лишенной энергии».
