Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
t
qm — т _ 0 _
kJ ^ - nAj ^ nAj ^
*0
Физическое рассмотрение динамических систем
15
Покажем, что при надлежащем выборе х™ и X™ эти выражения S™ обращаются тождественно в нуль.
Примем Хт равным ... , х^) в области, определяемой нера-
венствами
\xi ~ xi \ < т (* = 1, , п).
Тогда интегралы в написанных выше выражениях для S™ будут линейными функциями t и, следовательно, х™ могут быть выражены формулами
x°i +Xi(x°1, ... , x0n)(t-t,0),
пока точка хт не выходит из этой области. С точки зрения геометрии можно сказать, что выражения для дают параметрическое урав-
нение прямой, проходящей при t = to через центр области. В частном случае, когда все функции X™ обращаются в нуль, прямая вырождается в точку х°.
В случае, если прямая выходит за пределы области при t = t\ > to в точке у{\ мы можем принять эту точку за центр новой аналогичной области тех же размеров и в этой новой области определить ж™ формулой
Выражения S™ будут тогда обращаться в нуль и при t > ?1, пока точка хш не покинет эту вторую область в точке z° и т. д.
Таким образом, повторяя этот процесс, мы определяем х™ и X обращающие S™ в нуль для t > to, и подобным же образом для t < to. Процесс может остановиться только в том случае, если ломаная линия, представляющая xm(t), пересечет границу R.
Но если мы будем считать t за время, а х™ за координаты точки жш, то скорость ее, равная
[(хг)2 + ... + (хпт)2]1/г,
очевидно, меньше л/пМ. Следовательно, точка хт должна оставаться внутри R по крайней мере в интервале времени
1*-*°1 < “Ат-
упМ
Таким образом, все функции х™ для всех значений г и т определены в этом интервале.
Придавая т значения 1, 2, 3, ..., получим бесконечную последовательность систем функций х™ (?), определенных в этом интервале. Все
16
Глава 1
эти системы лежат в R и, таким образом, ограничены в совокупности. Далее, из того, что S™ = 0 для всех i и ш, следует неравенство:
t-\-h
\х? (t + h) - x?(t)I = 11 ХГ(хТ, x™)dt
? Mh.
Применив теперь к функциям х™ теорему, являющуюся частным случаем теоремы Асколи1(1), найдем, что существует бесконечная последовательность mi, m2, . • • значений ш, такая, что для каждого г, х™к равномерно стремится к некоторой непрерывной функции Х{.
Легко доказать, что полученные таким образом функции Х{ удовлетворяют интегральной форме (2) наших дифференциальных уравнений. Действительно, так как S™ равны нулю при всех г и ш, имеем
Si = Si- S?k = (Xi -X™*)-
t
- J[Xi{x1,...,xn)-X™*{x™\...,x™*)} dt.
to
При безграничном возрастании к первое слагаемое правой части равномерно стремится к нулю, так как х™к равномерно стремится к ж*. Точно так же Х™к (х™к,... , х™к) равномерно стремится к Х{(х 1, ...,жта); в самом деле, при к достаточно большом Xi (х™к,... , х™к) будет отличаться от Xi (х 1,... , хп) на сколь угодно малую величину, так как функции Xi по предположению равномерно непрерывны; Xi(x™kj ... , х™к) в свою очередь будет сколь угодно мало отличаться от Х™к(х™к, ... , х™к) по определению функций X™. Следовательно, подынтегральное выражение и вся правая часть формулы будут равномерно стремиться к нулю при возрастании откуда следует, что выражения Si, не зависящие от ш, тождественно равны нулю, и, таким образом, x(t) дает требуемое решение уравнений (1).
Применяя повторно теорему существования, мы можем данное решение x(t) уравнений (1) продолжить за пределы первоначального интервала его определения, если только при приближении t к одному из концов этого интервала x(t) не приближается к границе R. Отсюда следует справедливость утверждения:
краткую формулировку и доказательство этой теоремы см. у W. F. Osgood, Annals of Mathematics, т. 14, сер. 2, стр. 152 153. (*-) (маленькие цифры в скобках означают ссылки на примечания редакции, помещенные в конце книги).
Физическое рассмотрение диналшческих систем
17
Любое решение x(t) уравнений (1) может быть распространено на интервал, имеющий один из четырех видов:
-оо < t < +оо;
-оо < t < t"; tf <t < +oo; tf < t <
где при приближении t к t' или t" точка x(t) приближается к границе R{2).
§ 3. Теорема единственности. Мы можем доказать теперь, что существует только одно решение уравнений (1), обращающееся в х° при t = to при условии, что функции Х( имеют непрерывные первые частные производные. Это последнее требование может быть заменено гораздо более общим условием Липшица.
Теорема единственности. Если для всех г и для всех пар точек х, у в R функции Xi удовлетворяют условию Липшица
п
\Xi(x!, ... , хп) -Х^уг, ... , уп)I ^ ^2 Li \хз ~ Уjh
3=1
где величины Li, ... , Ln суть постоянные положительные количества, то существует только одно решение x(t) уравнений (1)? такое, что x(to) = х°.
Действительно, если бы два различных решения x(t) и y(t) принимали одни и те же значения х° при t = to, то из соответствующих интегральных форм дифференциальных уравнений мы сейчас же получили бы
t
Xi-Уг- J [Xi{x 1, ... , хп) - Xi{y1: ... , уп)] dt = О
to
для всех г, откуда по условию Липшица
для всех г.
18
Глава 1
Обозначим через L наибольшее из чисел Li, ... , Ln. И пусть Q будет максимум выражения \х{ — гц\ для всех i и для t в некотором произвольном замкнутом интервале, содержащемся внутри интервала
