Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
§1. Введение..............................................289
§ 2. Формулировка теоремы .................................289
§3. (5-цепи. Лемма 1......................................291
§4. Минимальные (5-цепи...................................293
§ 5. Вспомогательное преобразование Е. Лемма 2.............294
§ 6. Вспомогательная кривая. Лемма 3 ................296
§ 7. (5-теорема ...........................................299
§ 8. Завершение доказательства.............................301
О динамической роли последней геометрической теоремы Пуанкаре .....................................................305
Содержание
9
Некоторые проблемы динамики.............................311
1. Бильярдный шар на эллиптическом столе (319). 2. Частица на гладкой, замкнутой, выпуклой поверхности (320). 3. Частица на гладкой замкнутой поверхности повсюду отрицательной кривизны (321). 4. Задача трех тел (322).
О существовании областей неустойчивости в динамике . 327
Доказательство эргодической теоремы.....................343
Что такое эргодическая теорема? ........................349
Примечания редакции.....................................354
Алфавитный указатель ...................................404
Предметный указатель ...................................405
Предисловие
Книга Дж. Биркгофа «Динамические системы» наряду со знаменитым сочинением Пуанкаре «Новые методы небесной механики» оказала решающее влияние на современное развитие теории дифференциальных уравнений и аналитической динамики. Изданная на русском языке в 1941 (!) году, она давным давно стала библиографической редкостью. Поэтому мы решили переиздать книгу Биркгофа, добавив две его работы, содержащие доказательство эргодической теоремы. По словам Н.Винера (кстати сказать, не любившего Биркгофа по причинам, которые он сам объяснил в своих воспоминаниях) эти работы — поразительное свидетельство «пробивной» силы Биркгофа. «Он занялся эргодической теоремой без всякой предварительной подготовки, не обладая никакими специальными знаниями в области интеграла Лебега и даже не особенно им интересуясь. Несмотря на это, руководствуясь только своей математической интуицией, он сумел получить одну из важнейших теорем, вплоть до настоящего времени занимающую центральное положение в теории интеграла Лебега.»
Надо признать, что текст книги Биркгофа не лишен недостатков: не все доказательства приведены аккуратно, имеются неточности и даже ошибки, но, как заметил однажды Безикович, репутация математика основывается на числе плохих доказательств, которые он придумал (поскольку работы первооткрывателей неуклюжи).
А. А. Марков, В. В. Немыцкий и В. В. Степанов провели очень значительную и содержательную работу по редактированию текста русского издания. Однако, по их признанию, наверное не все погрешности обнаружены, не все недостатки исправлены. Приведу поучительный пример.
В главах III и IV Биркгоф строит теорию «пфаффовых систем»
^ (dXi _ зхЛ ^ м = п
\ dxj dxi ) dt dxi ’
параллельную теории гамильтоновых систем; здесь Х{ и Z — известные функции от Ж1, ... , х2т? причем кососимметрический определитель
dXj _ dX:i dxj dxi
Предисловие
11
отличен от нуля. При этом Биркгоф не заметил, что (по теореме Дарбу) уравнение Пфаффа — это уравнение Гамильтона, записанное не в канонических переменных.
Задумывая переиздание книги Биркгофа, мы намеревались заново прокомментировать текст с учетом развития идей Биркгофа. Однако скоро нам стала очевидной невыполнимость такого проекта. Читатель может попробовать самостоятельно продвинуться в этом направлении, вооружившись девятитомником обзоров, объединенных под тем же названием «Динамические системы» и изданных ВИНИТИ АН СССР в 1985 1991 годах.
Переиздавая книгу Биркгофа, мы ориентировались прежде всего на молодых исследователей. Мы хотели дать им возможность познакомиться с оригинальным изложением идей выдающегося математика Джорджа Дэвида Биркгофа, которые никогда не потеряют своей значимости и актуальности.
В. В. Козлов
Предисловие редакторов перевода
Книга Биркгофа «Динамические системы» подводит итоги исследованиям автора в области динамики, выполненным до 1927 года. В этой области Биркгоф является основоположником новых точек зрения, новых методов исследования и автором целого ряда важных результатов. Здесь достаточно указать на его замечательное доказательство последней геометрической теоремы Пуанкаре о неподвижных точках при преобразовании плоского кольца, на применение им этой теоремы к теории периодических движений систем с двумя степенями свободы, на его теории центральных и рекуррентных движений. Все это в настоящее время входит в тот минимум знаний, которым должен обладать всякий желающий специализироваться в области качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений или в области теоретической механики. Перевод книги Биркгофа, предлагаемый вниманию читателя, является поэтому насущной потребностью.
Из сказанного ясно, что книга эта будет полезной прежде всего для аспирантов, специализирующихся в указанных областях. Можно не сомневаться в том, что и у более зрелых специалистов в этих областях она будет настольной книгой. Наконец, можно рассчитывать, что книга окажется полезной и для студентов старших курсов университетов.
