Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
\xi~yi\ достигает этого максимума Q при некотором % и при некотором значении t, скажем при t*. Если мы подставим t* вместо t в написанное выше неравенство для \х{ — у{\ и применим теорему о среднем значении к правой части его, то получим
откуда следует, что Q может быть равно только нулю. Следовательно, два решения x(t) и y(t), совпадающие при t = to, будут совпадать
Теорема единственности получается повторным применением этого результата.
Физический смысл теорем существования и единственности заключается, очевидно, в том, что движение динамической системы вполне определяется дифференциальными уравнениями и начальными значениями переменных, определяющих состояние системы, — обстоятельство интуитивно очевидное.
Таким образом, для исследования какой-нибудь динамической проблемы требуется составление соответствующих дифференциальных уравнений при помощи принципов физики и затем математическое изучение свойств движений системы на основе этих уравнений.
§ 4. Две теоремы о непрерывности. Мы переходим теперь к двум теоремам о непрерывности, которые тесно связаны с только что доказанными теоремами.
Первая теорема о непрерывности. Если функции Xi в уравнениях (1) удовлетворяют условию Липшица в R, то единственное решение x(t), обращающееся в х° при t = to, представляет собою систему непрерывных функций от п параметров х® и от t — to-
Заметим прежде всего, что если мы заменим независимую переменную t на t' = t — to, то новые дифференциальные уравнения будут отличаться от уравнений (1) только тем, что вместо t будет стоять ?', а в начальных условиях to будет заменено нулем. Следовательно, в выражениях для Xi величины t и to встречаются только в комбинации t — to,
в любом интервале, содержащемся в интервале
Физическое рассмотрение динамических систем
19
так что достаточно показать непрерывность Xi относительно х® и t в случае, когда to = 0.
Эта теорема может быть доказана обобщением метода, примененного выше при доказательстве теоремы единственности. Если Х{ и yi — два решения уравнений (1), обращающиеся при t = 0 соответственно в ^ и ц-, то, вычитая соответственные интегральные уравнения, получим, очевидно,
при условии, что t лежит в интервале, в котором определены как так и yi(t).
Предположим, что х° лежит в R на расстоянии не менее D от его границы, и пусть, далее, расстояние у0 и х° будет не более D/2. Это последнее условие будет удовлетворено, если наибольшая из разностей \х® — Vi \ не будет превосходить D/2л/п. Кроме того ограничим
временно t интервалом \t\ ^ ^.
Z'fllj
Если при этих условиях обозначить через Q0 наибольшую из разностей \х® — Уi\i а через Q максимум разности \х{ — yi\ для всех % и для ?, лежащего в рассматриваемом интервале, то из написанного выше равенства следует
для произвольного значения t* величины t.
Таким образом, в указанном интервале всегда имеем Q ^ 2<Зо? т. е. разность Xi — yi не может по абсолютной величине превзойти наибольшую из удвоенных начальных разностей \х® — у®|. Следовательно, если у0 стремится к ж0, то у стремится к х равномерно в указанном интервале. Так как во всей области R \dxi/dt\ ^ М, то функции Х{ непрерывны относительно ж® и t в указанном интервале для t. Остается лишь снять ограничение с интервала для t.
В любом замкнутом интервале 0 ^ t ^ Т, в котором x(t) определено, точка х все время находится на расстоянии, превышающем некоторое положительное число D, от границы области R. Следовательно,
в интервале для ?, имеющем постоянную длину -Х=г с центром в любой
TI-L/
точке t' интервала 0 ^ t ^ Т, каждая функция X{(t) есть непрерывная
t
о
20
Глава 1
функция от Xi(tf) и от t — tr. Мы можем выбрать точки
to = 0, ?i, ... , tu — Т
так, что 0 < ti - to < О < t2 - h < -Ц- и т. д. Тогда, если мы
2пЬ 2пЬ
положим \х\ — у®\ ^ </, то получим последовательно
l)| ^ 2g, . . . , ^ 2 Q.
Отсюда очевидна справедливость доказываемой теоремы в любом интервале для t.
Вторая теорема о непрерывности. Если функции Х{ имеют в R непрерывные и ограниченные первые частные производные и эти частные производные сами удовлетворяют условию Липшица, то составляющие Xi(t) единственного решения x(t) уравнений (1); обращающегося в х° при t = to, имеют непрерывные первые частные производные по всем хи по t — to-
Для доказательства этой теоремы мы возвращаемся к рассмотрению равенства, написанного в начале доказательства предыдущей теоремы. Мы будем предполагать совершенно так же, как в предыдущей теореме, что у достаточно близко к х в интервале \t — to\ ^ Т, но кроме того потребуем, чтобы отрезок, соединяющий точки x(t) и y(t), целиком лежал в R для любого t в тех же пределах, для чего достаточно, чтобы y(t) лежало от x(t) на расстоянии, меньшем D. Предыдущая теорема показывает, что эти условия будут выполнены, если разности |у® — х®\ достаточно малы.
Теорема о среднем значении дает
п ^ ОХ'
Xi{y 1, ... ,у„) - Xi{XI, ... , хп) = ^2 {yj - Xj),
dxj
3 = 1 3
dXi
где аргументы выражении —— суть i, ... , Z{n^ причем
OXj
Zij = Xj + Oi(yj - Xj) (0 <0i < 1), так что Zi лежит в R. Таким образом, наше равенство принимает вид:
