Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Результатом всех таких связей будет уменьшение числа степеней свободы. В самом деле, при соответствующем выборе системы координат gi, ... , qm мы можем добиться того, что к связей системы будут выражаться формулами
<1ц+1 — const, ... , qm — const (p — ш — к).
Обозначим теперь через L то, во что превратится L, если связанным координатам gM+i, ... , qm придать эти постоянные значения, причем соответствующие q'iy q", конечно, обращаются в нуль. Тогда очевидно, что
т_Т. dL _ dL, 8L_dL х
L-L' М~Щ l*-1’"-’»-
Отсюда имеем
«< = !(© -й+я- ‘*=1.................*•>¦
где Qi и Ri имеют обычные значения.
Но первоначальные внешние силы Qi могут быть представлены как суммы
Qi+Pi (г = 1, , ш),
34
Глава 1
где «силы связи» Р* не могут производить работу ни при каких перемещениях системы, подчиненных связям. Отсюда следует, что функции Pi, ... , обращаются в нуль, если координаты выбраны, как указано. Следовательно, мы можем заменить Qi на Qi в вышеприведенной формуле при % — 1, ... , //.
Отсюда мы приходим к следующему заключению.
Если консервативная система с т степенями свободы подчинена к геометрическим связям, то ее можно рассматривать как консервативную систему с т — к степенями свободы.
§ 9. Внутренняя характеризация лагранжевых систем. В большинстве динамических приложений лагранжевы системы можно рассматривать как системы частиц, находящихся под действием известных сил и геометрических связей. Этот способ внутренней характеризации, послуживший Лагранжу основой для вывода его уравнений, будет вкратце рассмотрен в этом параграфе.
В следующем параграфе мы рассмотрим внешнюю характеризацию лагранжевых систем.
Начнем с рассмотрения трех частных типов частиц в обычном пространстве:
а) ИНЕРЦИАЛЬНАЯ ЧАСТИЦА.
Если ж, у, z будут обозначать прямоугольные координаты частицы, то внешние силы X, Y, Z, действующие в направлениях, параллельных осям координат, пропорциональны составляющим ускорения в этих направлениях.
X = шж", У = ту", Z = mz".
где коэффициент пропорциональности т называется «массой» частицы.
Примером может служить обычная материальная частица.
Очевидно, частица будет лагранжевого типа с функцией Лагранжа
L есть «кинетическая энергия» частицы.
Ь) Некинетическая частица.
Такая частица подвержена силам, не зависящим от скорости и имеющим следующий вид:
у _ _8V у _ _av 7__dV дх’ ду’ dz’
где V есть функция координат частицы в пространстве. Эта динамическая система тоже лагранжева и для нее L = V.
Физическое рассмотрение динамических систем
35
Функция V есть «потенциальная энергия» частицы, обязанная своим возникновением полю сил, в котором частица движется.
Почти к этому типу принадлежит наэлектризованная частица с ничтожной массой в статическом электрическом поле.
c) Гироскопическая частица.
По определению гироскопической называется частица, подверженная действию сил, имеющих составляющие вдоль осей, вида
v (да д(3\ , (да д^\ ,
Х={щ-Ъс)*+{Т2-Тх)’’
так что вектор силы перпендикулярен вектору скорости и сила, следовательно, не совершает никакой работы. Тем не менее, система является лагранжевой с главной функцией, равной
L = ах! + (Зу! + 7 zf.
Отметим, что эта система представляет собой случай лагранжевой системы, являющейся одновременно системой, лишенной энергии.
К этому типу принадлежит, например, наэлектризованная частица, движущаяся в статическом магнитном поле.
d) Система «обобщенных» частиц.
Если частица движется под действием сил, представляющих собою сумму сил инерциального, некинетического и гироскопического типов, то такую частицу можно назвать «обобщенной» частицей. Примером может служить обыкновенная материальная частица, движущаяся в поле тяготения. Такая система, очевидно, будет лагранжевой, и главная функция ее будет просто суммой главных функций, связанных со слагающими силами.
Рассмотрим далее совокупность таких частиц, которые никаким образом не взаимодействуют между собою. Если мы сложим лагранже-вы функции различных частиц, то мы получим функцию L, из которой можно вывести уравнения движения системы частиц.
Конечно, при этом необходимо различать координаты различных частиц, употребляя для них разные переменные ж*, yi, где г = = 1, ... , га.
Очевидно, что в этом случае мы имеем главную функцию, квадратичную по отношению к скоростям. Естественным обобщением этих систем будут такие системы, главная функция которых — любой квадратичный относительно скоростей полином. Однородное, квадратичное относительно скоростей, слагаемое Т будет кинетическая энергия системы, слагаемое С/, не зависящее от скоростей, — ее потенциальная энергия, а слагаемое однородное, линейное относительно скоростей, можно назвать «гироскопической энергией».
36
Глава 1
Кроме того, как мы видели, мы можем подчинить наши частицы различного рода геометрическим связям и таким образом уменьшить число степеней свободы, не нарушая лагранжева характера системы.
Рассмотрение таких систем «обобщенных» частиц бывает достаточно для большинства приложений.
е) Обобщенная частица в ш-мерном пространстве.
