Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Книга Биркгофа вышла впервые в свет в 1927 году. Работа автора в области динамики продолжалась, однако, и после этого. Редакция
12
Предисловие
считает целесообразным по возможности отразить в предлагаемом читателю русском переводе и этот более поздний этап работы Биркгофа. С этой целью в русский перевод была включена относящаяся к 1931 г. статья Биркгофа «О существовании областей неустойчивости в динамике», являющаяся существенным дополнением к главе VIII. Другая включенная в русский перевод статья Биркгофа «Некоторые проблемы динамики», вышедшая в 1929 году, интересна тем, что в ней дается перечень некоторых важных, еще не решенных проблем.
Остальные две включенные в русский перевод статьи Биркгофа связаны с последней геометрической теоремой Пуанкаре. Одна из них содержит подробное доказательство одного существенного для динамических приложений обобщения этой теоремы, применяемого в тексте книги. Другая проливает новый свет на роль этой теоремы в динамике.
Редакция считает необходимым предостеречь читателя от некритического отношения к содержанию книги Биркгофа. В этой книге далеко не все рассуждения проведены с достаточной тщательностью. Это ведет к тому, что в отдельных случаях автор приходит даже к неправильным выводам. Часто бывает также, что выводы правильны, но рассуждения, на которых они основаны, недостаточны.
Все такие ошибки редакция старалась по возможности исправлять в многочисленных примечаниях, отмечая неправильные утверждения, заменяя неточные рассуждения строгими доказательствами и т. п. Во всей этой работе большую помощь оказал редакции переводчик книги Е. М. Ливенсон, за что редакция выражает ему свою искреннюю благодарность.
Следует, однако, отметить, что редакции удалось устранить далеко не все неясности. В некоторых случаях редакция была вынуждена ограничиться указанием на недостаточность того или иного рассуждения, не будучи в состоянии заменить его правильным. Возможно также, что некоторые ошибки ускользнули от внимания редакции. Все это обязывает читателя к самому строгому, критическому отношению к тексту книги.
А. Марков, В. Немыцкийу В. Степанов
Глава 1
Физическое рассмотрение динамических систем
§ 1. Вводные замечания. В динамике мы имеем дело с физи-ческими системами, состояние которых в некоторый момент t вполне определяется значениями п вещественных переменных
у • • • ;
Таким образом, в динамической системе скорости изменения этих переменных, т. е.
dx 1 dx 2 dxn
~dt ’ ~dt' ’ ~dT’
зависят только от значений самих этих переменных, так что закон движения системы может быть выражен посредством п дифференциальных уравнений первого порядка:
^ =Xi(xu ... (» = 1 (1)
Например, для материальной точки, свободно падающей в пустоте близ поверхности земли, х\ и х2 могут обозначать пройденное расстояние и скорость. В этом случае уравнения движения принимают вид
dx 1 dx 2
~dt ~ Ж2’ ИГ ~ g’
где g — ускорение силы тяжести.
§ 2. Теорема существования. Переходим к формулировке теоремы существования для системы дифференциальных уравнений типа (I)1. Функции Х{ мы будем считать вещественными и равномерно непрерывными в некоторой открытой, ограниченной n-мерной связной области R «пространства» точек, определенных прямоугольными координатами (ж1, ж2, , хп). Решением x(t) уравнений (1) в открытом
ХК первым пяти параграфам может быть указана следующая общая литература: Picard Е., Traite d’Analyse, т. 2, гл. 11 и т. 3, гл. 8; GoursatE., Cours d’Analyse mathematique, т. 2, гл. 19; Bliss G. Л., Princeton Colloquium Lectures, гл. 3.
14
Глава 1
интервале Г < t < t" называется такая система п функций ж*(?), непрерывных вместе со своими первыми производными, которая для всякого t в указанном интервале определяет точку, принадлежащую R, и удовлетворяет дифференциальным уравнениям (1).
Теорема существования. Если точка х° лежит в R на расстоянии не менее D от границы R и М есть верхняя граница функций \Xi\ в R, то существует решение x(t) уравнений (1), определенное в интервале
1*-*°1 < ~~ГГм
sJnM
и обращающееся в х° при t = ?0«
Для доказательства этой теоремы заметим прежде всего, что любое решение уравнений (1), для которого x(to) = х*°, удовлетворяет п уравнениям:
t
Si = Xi — х® - J Xi(xi, ... , xn) dt = 0. (2)
to
Обратно, всякая система непрерывных функций x(t) в R обращается в х° при t = to, а также удовлетворяет уравнениям (1), если все Si обращаются тождественно в нуль в интервале, содержащем t = to в качестве внутренней точки. Это можно проверить непосредственным дифференцированием.
Определим теперь систему бесконечно многозначных функций Х™(х1, ... , жп), где значениями X™(xi, ... , хп) служит любая система Xi(yi, ... , уп) в точке у, координаты которой отличаются от соответственных координат точки х не более, чем на Очевидно, что при этом определении мы можем в любой прямоугольной области, определяемой неравенствами
\xi-ai\^^ (i = l, ... ,п),
принять за значения п составляющих Хт (т. е. XJ71, X... , Xпостоянные числа, а именно: составляющие Х(ах, ... , ап).
Если в выражении для Si заменим Х{ на X™ и Х{ на ж™, то получим выражение
