Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Qi = q" + bi (i = 1, ... , га)
в этой точке.
Физическое рассмотрение динамических систем
39
Для доказательства этого утверждения примем, что точка (Qii ••• ? Qm) есть начало, и произведем первое линейное преобразование:
т
qi = '^20ijqj =
з=1
где fiij суть некоторые постоянные числа, причем |/3^ | / 0. Тогда имеем для функции Qi:
т о т
Qi = tlQ>-? = Y/QjPji-
3 = 1 * J=1
Подставляя в эту формулу выражение для Qj, находим для любого г:
т
Qi= X ajkPkiPjiq” + члены, не зависящие от q",... , g" .
j, fc, г=1
Отсюда следует, что если мы так выберем наше преобразование, чтобы превратить квадратичную форму
ш
ajkQjQk
3J *=1
в сумму квадратов
<?? + ... + Qm,
то величины будут равны нулю при г / j и единице при г = j. Следовательно, мы имеем право предположить, что при этом предварительном преобразовании aij преобразовались в Sij в начале координат так, что
ш
Qi = q" + ? b%kq'jq’k + Щ (i = l, ... ,m).
j, k=l
Произведем теперь дальнейшее преобразование.
qi = qi + \ X b°HkQjQk,
где значения постоянных определяются из предыдущего равенства. Непосредственным дифференцированием убеждаемся, что в начале
40
Глава 1
координат имеют место равенства:
га
q'i = Qi, q” = я” + X ьЬ^я'к (* = i,..., m).
j, k=1
Отсюда тотчас же видно, что для Qi в начале координат справедлива доказываемая формула, т. е.
Qi = q'i+bi =
V. Принцип сохранения энергии. Рассматриваемая динамическая система консервативна.
Если W — функция работы, то мы имеем основное равенство
га
dW = X Qjq'j dt,
3 = 1
характеризующее консервативные системы. Но правая часть этого равенства есть линейное выражение относительно ускорений; сравнивая коэффициенты при q" в обеих частях, получим, принимая во внимание выражения для Qf.
га
|иг = J2 ai)q'i о- = h ¦ ¦ ¦,
чз i=i
откуда
W = T + U,
где
га
Т = \ X
j, k—1
а ?/ зависит только от </i,... , qm.
Из этой формулы для W следует, конечно, на основании сказанного в предыдущих параграфах, что L = Т — U, и, следовательно,
Qi = i{w) + frH + Ri (*' = 1>••¦>”*)>
где удовлетворяет условию (7).
Физическое рассмотрение диналшческих систем
41
Поскольку первые два члена правой части дают выражение, совершенно подобное приведенному выше выражению для Qi, причем члены, содержащие q'J, в обоих выражениях совпадают, то из этого следует, что разности Ri должны иметь вид:
т
Ri= X Ci3k<ijik + Ci (* = l, • • •, га). j, fc=i
Принимая во внимание условие (7), мы заключаем далее, что для всех г, j, & имеют место соотношения
Cijk “Ь Cjki “Ь ckij — О? — О?
причем, разумеется, = с^*.
Следовательно, принципы I-V приводят к динамической системе, у которой внешние силы выражаются формулами
п - A- I 9Т \ , au , Y' л V,/
Qi~ dt { dql I + dQl + CiikqjQk'
d ( dT \ , dU
t
j, k=1
где Cijk = Cikj суть функции координат, удовлетворяющие условию
Cijk “Ь Cjki “Ь ckij = О
для любых г, j, к.
Остается лишь так подобрать возможно простое последнее свойство системы, чтобы из него следовало = 0 для всех г, j, к.
VI. Если при каком-нибудь выборе системы координат кинетическая энергия Т делается стационарной относительно gi, ... , qm, в некоторой точке ... , q®n, то силы Qi вызывают ускорение, независимое от скоростей.
Предположим пока, что такое стационарное Т существует. Тогда имеем в точке gf, ... ,
dCLij
^=0 (г, j, k = 1, ... , m).
Выражение для Qi в этой точке обращается в
пг ш
Qi — 53aijQj + -q— + 53 Ci3kQj4k'
з — 1 % j,k=l
42
Глава 1
(Нужно отметить, что написанная выше формула для Qi сохраняется для всех систем координат.) Если теперь эти силы Qi не зависят от скоростей, то все ciju должны обращаться в нуль для этой специальной координатной системы, а следовательно, согласно известному закону преобразования членов Ri и для любой координатной системы. Таким образом, получена искомая лагранжева форма для внешних сил,
и, следовательно, условия I-VI определяют регулярную лагранжеву динамическую систему.
Утверждение, что существует стационарное Т, следует из общеизвестной теоремы, гласящей, что для любой системы координат геодезического типа в точке ... , квадрат линейного элемента
тп
ds2 = 53 ai3 dqj
i,3 = 1
имеет стационарные в этой точке коэффициенты.
Обратно, легко видеть, что для всякой регулярной лагранжевой системы внешние силы Qi удовлетворяют условиям I VI.
§11. Рассеивающие системы. Консервативные системы часто являются лишь предельными случаями того, что действительно встречается в природе, так как работа, произведенная силами в течение замкнутого цикла, бывает обычно больше нуля. Систему, в которой силы производят работу вдоль замкнутого цикла, мы назовем рассеивающей. Иначе говоря, мы можем определить рассеивающую систему как такую, для которой
(i=1’
где
тп
У! (i.i ^ •
3 =1
Кроме того мы предположим, что равенство может иметь место только для движений, происходящих в некотором многообразии размерности ниже га в га-мерном координатном пространстве.
Допустим теперь, что такая система не подвержена действию внешних сил или по крайней мере подвержена действию только таких сил, которые не производят работы, так что
