Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
где 7Ж, например, означает dj/дх.
Кроме того, так как всякое преобразование переменных сохраняет линейный характер (относительно х' и у') линейного интеграла, то мы можем написать искомый интеграл в виде
где подразумевается, что это соотношение должно иметь место в том случае, когда постоянная энергии обращается в нуль.
Если мы продифференцируем этот линейный интеграл по времени t, то получившееся уравнение должно обращаться в тождество, если принять во внимание написанные выше дифференциальные уравнения движения и интеграл энергии.
тп
х" + \у'=1х, у"-\х' = 1у-, |(ж'2 + у'2) = 7,
V = lxf + ту1 + п = к,
Вариационные принципы и их применение
57
С помощью дифференциальных уравнений мы можем исключить х" и у". После того, как это будет сделано, мы получим уравнение, квадратичное относительно xf и у', которое должно обращаться в тождество в силу одного только интеграла энергии. В этом уравнении члены второй степени относительно ж', у' будут
1хх'2 + (1у + тх)х'у' + туу'2.
Для того, чтобы эта сумма комбинировалась с членами низших степеней в выражение, обращающееся в нуль, если принять во внимание интеграл энергии, она должна быть нижеследующего вида:
р(х,2 + у'2),
откуда
1Х ТПу,)
т. е.
I = иу, т = их,
где и — гармоническая функция.
Мы можем теперь написать интеграл в виде
иухг + uxyf + п = к.
Из сказанного в § 3 следует, что дальнейшее произвольное конформное преобразование плоскости х, у вместе с соответственным преобразованием аргумента t сохранит нормальную форму дифференциальных уравнений и интеграла энергии. Для того чтобы упростить еще больше линейный интеграл, произведем преобразование координат ж, у в новые ж, у, определенные формулой
Это, очевидно, представляет собою конформное преобразование. Обратное преобразование
x + iy = f(x + iy) будет тоже конформным, и мы имеем:
—12 dx + ldy 2 2
/ (ж + гу\ = = и + и .
1 1 dx + idy v х
58
Глава 2
Теперь определим преобразование t формулой dt = (Uy + и2х) dt.
Тогда мы, очевидно, получаем:
х' + iy' = (Uy - iux)(x' + iy'),
(Pr —t d/й _
где x = —, у = —. В частности, имеем, таким образом, dt dt
xf = иух! + uxy!.
Следовательно, после того, как мы произвели такое преобразование^), наш линейный интеграл примет форму (мы теперь опускаем черточки над ж, у, t):
xf + п = к.
Продифференцируем теперь этот интеграл по t и исключим хп при помощи первого уравнения Лагранжа. Мы получим тогда
tixx Н- ijiy ^)у “I- 'Ух — О*
Это выражение должно тождественно обращаться в нуль в силу соотношения х/2 + у'2 = 2у. Следовательно, это выражение обращается в нуль тождественно относительно х' и ?/', что имеет место только в том случае, если А и 7 будут функциями одного у. В этом случае подходящим выбором п, а, именно, при п = f A dy, мы действительно можем добиться того, чтобы вышеприведенное выражение обращалось в нуль.
Если такая динамическая система с двумя степенями свободы и постоянной энергии, равной нулю, имеет условный интеграл, линейный относительно скоростей, то посредством подходящего преобразования координат и времени уравнения могут быть приведены к нормальному виду, с главной функцией L, равной
L = |(ж'2 + у’2) + п(у)х' + 7 (у),
и система содержит несущественную координату х. В этом интегрируемом случае кривые движения даются уравнениями:
f (ci -n)dy х= + с2,
J ^27 - (ci - п)2 J ^/27 - {сг - п)2
Вариационные принципы и их применение
59
§ 9. Интегралы, квадратичные относительно скоростей. Известным интегралом, квадратичным относительно скоростей, является интеграл энергии. Кроме того, известно, что динамические системы так называемого типа Лиувилля, для которых L имеет вид:
т 3 =1
где
га т
и = '52 w = X
3=1 3=1
имеют га интегралов, квадратичных относительно скоростей, а именно:
- сщ + и>г = с< (г = 1, ... , т)(5),
и могут быть полностью проинтегрированы.
Мы предполагаем здесь рассмотреть частный случай обратной задачи: определить условия, при которых система Лагранжа с двумя степенями свободы, обратимого типа, с постоянной энергии, равной нулю, имеет условный интеграл, квадратичный относительно скоростей, т. е. вида
V = ах'2 + 2 Ьх'у' + су'2) + dx' + еу' + / = &,
где а, ... , / суть функции от ж и у, причем мы предполагаем, что этот интеграл не является линейной комбинацией интеграла энергии и линейного интеграла.
Если такой интеграл существует, то любое преобразование переменных ж, у, t типа, рассмотренного в § 3, оставляет форму этого интеграла без изменения. Следовательно, мы можем привести наши уравнения к нормальному виду, для которого
Ь = \(х’2 + у’2) + 7.
Дифференцируя предполагаемый интеграл и исключая х", у" с помощью уравнений Лагранжа, мы получим полином не выше чем третьей степени относительно х', у', который должен обращаться тождественно в нуль в силу соотношения W = ^(х'2 + У*2) — 7 = 0. Но члены третьей степени относительно ж', у' суть
60
Глава 2
Эти члены вместе с членами низших порядков должны дать нуль на основании равенства W — 0. Это может быть только в том случае, если написанный полином делится на х'2 + г/'2, т. е. если
