Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь благодаря тому, что L по предположению есть квадратичная функция скоростей, коэффициенты при Mj будут функциями только координат б/i, ... , qm. Правая часть равенства — тоже функция только координат, так как V линейна относительно скоростей. Кроме того, так как Х2 — определенная положительная форма, то определитель \д2L/dq^dq'^ ф 0. Из всего этого следует, что функции Mi могут содержать только координаты. Частное интегрирование относительно q^ дает:
Для каждой данной функции V существует только одна система функций М{ и S, для которой выполняются эти равенства, так как коэффициенты dL/dq'• при Mj суть линейно независимые относительно скоростей q[ выражения. Кроме того при преобразовании координат новое соотношение, полученное из написанного выше, будет иметь тот же вид, так как интеграл, линейный относительно скоростей, остается таковым при любом преобразовании переменных. Таким образом, переходя от переменных qi к новым qi7 находим
д L =dV dqj dt
т
54
Глава 2
Новые коэффициенты Mi даются формулами:
171 У)—
j=1 ч
Из теории линейных уравнений в частных производных первого порядка известно, что можно определить т независимых функций qi, таких, что выполняются соотношения
мг = 1, м2 = ... = мт = 0.
Тогда получаем
F = Ш + S.
dq[
;о пс
±(щЛ дЬ _ dV
dqx dt ’
Дифференцируя это равенство по t и принимая во внимание, что теперь
dt
получаем новое тождество
171
Таким образом, выражение dLjdqx оказывается линейным относительно скоростей. Следовательно, коэффициенты при членах L, квадратичных относительно скоростей, не зависят от дГ, т. е.
т
L2 = ^ ajk(q2, ... , qm)q'jq'k.
i, к-1
Положим
171
Ll ^ ] bjiQ 15 • • • 5 Qm)Clj:> Lo e{Qli • • • ¦> Qm) *>
3 = 1
тогда вышеприведенное тождество можно записать так:
Вариационные принципы и их применение
55
Отсюда мы сразу видим, что е не зависит от q1 и что, положив S* = = f S dqi, мы можем написать для Li выражение
т т
Таким образом, L\ равняется сумме полной производной и линейного выражения от ... , q'm с коэффициентами, зависящими только
от (&, , q'm¦
Так как мы можем прибавить к функции L полную производную, не изменяя этим ни вариацию, ни уравнения Лагранжа, то мы можем опустить первое слагаемое в L. Следовательно, мы можем считать, что L не содержит координаты </i.
Самый общий случай, в котором для уравнений Лагранжа можно подобрать множители ... , </m)? с помощью которых можно со-
ставить такую комбинацию левых частей уравнений Лагранжа, которая была бы полной производной некоторой функции V, линейной относительно скоростей q[, ... , qfm7 может быть приведен переходом к новым переменным к случаю системы, содержащей несущественную координату qi7 когда все множители; кроме одного М\, равны нулю, a Mi равен единице.
Существование таких линейных интегралов может быть установлено чисто геометрическими способами. Заметим, что в предшествовавших рассуждениях производились преобразования только над <7i, ... , <7т, тогда как t оставалось без изменения. Следовательно, квадратичная дифференциальная форма ds2 = L<i dt2 представляет собой инвариант, который в окончательных переменных имеет коэффициенты, содержащие только д2? • • • , Qm- Но это аналитическое свойство дифференциального элемента означает, что многообразие допускает однопараметрическую непрерывную группу преобразований в себя:
Qi = Qi + с, Ъ = Фг, • • • , qm = <1т-
Необходимое условие существования такой обобщенной несущественной координаты состоит в тому что многообразие ds^—L^ dt2 допускает однопараметрическую непрерывную группу преобразований в себя.
Мы не будем здесь искать дальнейших необходимых условий.
§ 7. Общий случай интеграла, линейного относительно скоростей. До сих пор из приведенных выше рассуждений мы не можем еще заключить, что все интегралы наших уравнений, линейные относительно скоростей, могут быть получены методом обобщенных несущественных координат. Это можно доказать следующим образом.
56
Глава 2
Так как Ь2 по предположению положительная определенная форма, то мы можем написать этот интеграл в том виде, в каком мы им пользовались в предыдущем параграфе, т. е.
где S и Mj — функции одних координат. Применяя в точности метод предыдущего параграфа, мы покажем, что соответствующим преобразованием координат можно добиться того, чтобы Mi = 1, М2 = ... = = Мт = 0, после чего, дифференцируя по t, убедимся так же, как и там, что L можно сделать независимой от gi, так что координата есть несущественная.
Указанный выше метод множителей даст все интегралы уравнений Лагранжа, линейные относительно скоростей.
§ 8. Условные интегралы, линейные относительно скоростей. В предыдущем параграфе мы рассматривали интегралы, линейные относительно скоростей и годные для всех значений постоянной энергии. Более трудную проблему представляет собою нахождение условного интеграла, годного для какого-нибудь определенного значения постоянной с энергии, например, для с = 0. В настоящем параграфе мы рассмотрим этот вопрос для случая системы с двумя степенями свободы. В этом случае, как было показано раньше, мы можем, совершив преобразование переменных, получить уравнения движения и интеграл энергии в нормальной форме:
