Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Уравненим Лагранжа можно придать вариационную форму, известную под названием принципа Гамильтона:
Согласно принципу, приведшему нас к рассмотрению понятия вариации, мы можем произвести любую замену переменных в лагранжевых уравнениях посредством подстановки этих переменных в функцию L. От этого обстоятельства в значительной мере и зависит удобство лагранжевой формы уравнений.
§ 3. Принцип наименьшего действия. Существует и другая известная вариационная форма уравнений Лагранжа, называемая «принципом наименьшего действия». Мы выясним сейчас отношение этого принципа к только что высказанному принципу Гамильтона. Мы предположим, что L = L2 + Li + Lq — квадратичная функция скоростей. Напомним, что уравнения Лагранжа имеют следующий интеграл энергии:
На этом именно обстоятельстве основаны наши дальнейшие рассуждения.
Остановим наше внимание на случае, когда постоянная энергии с имеет какое-нибудь определенное значение, скажем с = 0. (Всякий случай можно привести к этому, заменив L на L + с.) Тогда мы имеем L2 — Ь0 вдоль рассматриваемого движения qi = q®{t) (г = 1, ... , га).
Определим теперь интеграл I* следующей формулой:
а)
t о
L — Ь2 — Lq — с.
Г = I-
dt.
Тогда
48
Глава 2
Следовательно, принимая во внимание, что для <$(?), удовлетворено условие Lq = ?2, имеем
для всех вариаций величин Значит, если функции q® кроме того удовлетворяют уравнениям Лагранжа, так что 81 = 0, то мы будем
иметь также 81* = 0.___
Выражение 2л/Ь$Ь2 + Ьъ стоящее под знаком интеграла в /*, является однородной функцией размерности 1 от производных q[. Следовательно, численная величина интеграла I* не зависит от выбора параметра t на пути интегрирования, а зависит только от самого пути интегрирования в m-мерном пространстве с координатами gi, ... , для вариаций, удовлетворяющих условиям, поставленным нами в начале предыдущего параграфа, начальная и конечная точки пути фиксированы. Таким образом, мы можем считать, что интеграл энергии просто определяет параметр ?, потому что, если мы положим
то требование W = 0 будет выполнено при новом параметре t.
Следовательно, если мы имеем 81* = 0 при qi = q®(t) и если новый параметр t определен из только что приведенной формулы, то имеем также 81 = 0 при qi = q®(t).
Другой вариационной формой уравнений движения лагранжевой системы с функцией L, квадратичной относительно скоростей, является 81* = 0, или, подробнее:
при условии, что L выбрана таким образом, что постоянная энергии обращается в нуль и что параметр t определен вышеприведенной формулой.
Уравнение 61* = 0, которое обычно дается для того случая, когда член L, линейный относительно скоростей, отсутствует, выражает собою «принцип наименьшего действия» для этой задачи.
При помощи этого принципа мы можем легко произвести преобразование не только переменных но также и переменной t. В самом
8Г = 81
to
хСм. О. Bolza, Vorlesungen iiber Variationsrechnung, гл. 5.
Вариационные принципы и их применение
49
деле, условие 81* = 0, разумеется, сохраняет свою форму при переходе от зависимых переменных <&, к новым qвдоль преобразованной кривой будет исполнено то же вариационное условие, причем функцию L, конечно, нужно заменить ее выражением через новые переменные, тогда как t сохраняет свое прежнее значение. Следовательно, для того, чтобы преобразовать эти переменные, достаточно произвести преобразование непосредственно над L. Соответствующие новые дифференциальные уравнения получатся, таким образом, из нового выражения для функции L.
Над независимой переменной t мы можем произвести преобразование следующего вида
Иначе говоря, дифференциальный элемент времени делится на выражение //, зависящее от координат. Мы можем определить характер преобразования, которое испытывают уравнения в результате этой подстановки новой переменной следующим образом. Заметим, что интеграл I* может быть написан под видом
Новый интеграл получает тот же вид, что и прежний, если положить
Кроме того, 81* обращается в нуль вдоль кривой, независимо от того, будем ли мы рассматривать за параметр t или t. При этом преобразовании t уравнения Лагранжа переходят в новые уравнения того же типа, но в которых функция L заменена на цЬ.
Дифференциальная форма Ldt остается инвариантной при обоих описанных типах преобразований. Отсюда вытекает следующее положение.
При преобразовании
уравнения Лагранжа с постоянной энергии, равной нулю, переходят в подобную же систему уравнений с постоянной энергии. равной нулю, в которой L получается из формулы
dt = ... , qm)dt.
L — jj, L.
Qi = fi(Qi, ¦ ¦ ¦ , Qm) (i = l, ... ,m), dt = n(qt, ... ,qm)dt
Ldt — L dt.
50
Глава 2
В обратимом случае имеем Li = 0 и, следовательно, ti ti Г = j ‘IsjUU dt = 2 J ds,
to to
где ds2 = L0L2 dt2 есть квадрат элемента дуги на надлежащем многообразии с координатами gi, ... , qm.
Таким образом; в обратимом случае с фиксированной постоянной энергии кривые движения могут быть интерпретированы как геодезические линии на т-мерном многообразии с квадратом элемента дуги
ds2 = LqL2 dt2.
Этот результат показывает, насколько общий характер имеет проблема геодезических линий ш-мерного многообразия.
