Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
§4. Нормальная форма (две степени свободы). Выведенным здесь формулам преобразований можно придать весьма изящный вид для случая систем с двумя степенями свободы1. В этом случае дифференциальный элемент
L2 dt2 = i(au dq\ + 2a12 dqi dq2 + a22 dqj)
можно рассматривать как квадрат элемента длины дуги некоторой двумерной поверхности. Выбирая за qx и q2 координаты изотермической сети на этой поверхности, мы будем иметь для квадрата элемента дуги выражение
(dql + dql).
Следовательно, если мы возьмем ц равным 1 и произведем вышеу-
казанное (см. предыдущий параграф) преобразование ?, то этим самым мы приведем Л к единице.
Для данной лагранжевой системы с двумя степенями свободы и данной постоянной энергии 0 существуют переменные вышеописанного типа, в которых главная функция L имеет вид:
L = ^ (qf 1 + q'l) + otq[ + f3qf2 + 7.
^м., например, мою статью «Dynamical Systems with Two Degrees of Freedom», Trans. Amer. Math. Soc., vol. 18 (1917), sections 2-5.
Вариационные принципы и их применение
51
Уравнения движения и интеграл энергии получают в этом случае нормальную форму:
П" _i_ \,/ — \П> — .
Ql+Xq2~Wl' Ъ Ql~^2
¦); 2(^
л _ да 9(3 ,
1 /72 , /2\ _
dq2 ’ o(«i+«2)-7-
Далее, если рассматривать qi и q2 как прямоугольные координаты материальной частицы с массой, равной единице, движущейся на плоскости, то из приведенных уравнений следует, как легко видеть, что частица движется под влиянием поля сил, вызванного потенциальной энергией — 7, и силы, равной по величине Xv (где v означает скорость) и направленной перпендикулярно к направлению движения.
Всякую такую лагранжеву систему с двумя степенями свободы можно рассматривать как материальную частицу на плоскости, находящуюся под действием консервативного поля сил, вызванного потенциальной энергией — 7, и не производящей работы силы Xv (где v — скорость), действующей в направлении, перпендикулярном к направлению движения.
§ 5. Несущественные координаты. Разыскание интегралов представляет собою задачу, имеющую основное значение в теории систем дифференциальных уравнений. Вопрос о том, имеет ли данная система интегралы какого-либо определенного типа, обычно может быть решен формальными методами. Задача нахождения таких интегралов рассматривалась и разрешалась во многих частных случаях. Чтобы коснуться немного динамических задач этого рода, мы рассмотрим здесь вкратце интегралы лагранжевых систем, которые линейны или второй степени относительно скоростей. Область изменения переменных <71, ... , qm мы ограничим малой скоростью точки q^, ... , в то время как q[, ... , q'm для рассматриваемых интегралов будут произвольны.
Мы будем предполагать, что L — квадратичная функция скоростей, причем однородная квадратичная часть L2 есть положительная определенная форма(2).
Существует очень простой случай, когда частный интеграл лагранжевых уравнений, линейный относительно скоростей, может быть найден сразу, а именно: случай, когда одна из координат, например gi, не входит в главную функцию L. В этом случае соответственное дифференциальное уравнение принимает вид:
52
Глава 2
откуда
dL
dq[
Это — интеграл, линейный относительно скоростей. Координата q\ в этом случае называется «несущественной координатой».
Можно доказать методом вариаций, что в этом случае остальные га —1 уравнений, дающих систему га —1 уравнений второго порядка относительно • • • , после того, как с помощью вышеприведенного интеграла мы исключили q[, могут быть выражены в лагранжевой форме. Обозначим через L функцию от • • * 5 Чт, i я'гт полу-
чаемую из L после исключения q[(3). Если gj, ... , q^ удовлетворяют данным уравнениям Лагранжа, то, интегрируя по частям, находим для произвольных вариаций ••• 5
здесь q[ определяется из соотношения dL/dq[ = с, тогда как q\ определяется только с точностью до постоянного слагаемого. Если Sq2, , Sqm обращаются в нуль в окрестности концов интерва-
ла (fo, ?i); то это равенство приводится к виду:
Если q1 есть несущественная координатащ то наши лагранже-вы уравнения могут быть заменены системой лагранжевых уравнений в q2, ... , q-m, с главной функцией
в которой можно исключить q[, пользуясь известным интегралом
Мы отметили вышеуказанное приведение системы к системе с меньшим числом степеней свободы, потому что оно характерно как пример тех приведений, к которым стремятся во многих динамических проблемах, а именно приведений, сохраняющих общий вид уравнений.
dL/dq[ = с.
Вариационные принципы и их применение
53
§ 6. Метод множителей. Зададим теперь следующий вопрос: при каких условиях можно найти т «множителей» Mi, зависящих от координат и скоростей, так, чтобы, умножив уравнения Лагранжа на эти множители Mi,... ,МШ и сложив, мы получили бы в левой части полученного уравнения полную производную некоторой функции V, линейной относительно скоростей? Если такие множители существуют, то имеем:
Очевидно, что это будет обобщением понятия несущественной координаты, для которой имеем М{—1 для некоторого г, тогда как Mj=О при j ф г.
Сравнивая коэффициенты при q" в обеих частях написанного тождества, мы получаем прежде всего:
