Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
В настоящей главе мы сосредоточим внимание главным образом на тех чисто формальных соображениях, в которых не принимаются во внимание вопросы, касающиеся сходимости рассматриваемых рядов, и в которых мы будем считать известной точку равновесия или периодическое движение. Таким путем мы будем иметь возможность развить в значительной мере формальную сторону теории применяемых в динамике уравнений типов Лагранжа, Гамильтона и Пфаффа. С этой целью мы, прежде всего, будем исследовать свойства того, что можно назвать общим случаем проблемы равновесия, а затем перейдем к упомянутым частным типам, так что можно будет сравнивать обе задачи.
§ 2. Формальная группа. Для удобства обозначений мы примем, что точка равновесия системы (3) находится в начале координат. Мы будем рассматривать преобразования вида
п п
Xi = ^ ^ Н- л ^ ^ ^ijk{t)Xj Xjs + . . . , (4)
j = 1 j, k — 1
где коэффициенты aij, аць суть вещественные периодические аналитические функции t с периодом т, такие, что определитель |а^| не обращается в нуль ни при каком значении t. Очевидно, что два таких последовательно совершенных преобразования могут быть соединены в одно преобразование того же типа, и что преобразование, обратное какому-нибудь преобразованию типа (4), будет иметь такой же вид. Кроме того, дифференциальные уравнения (3), очевидно, сохраняют свой вид при преобразовании, принадлежащем этой группе.
Представим себе теперь, что в преобразовании (4) встречаются расходящиеся ряды. Правые части Xi преобразованных дифференциальных уравнений будут в этом случае представлены как определенные формальные степенные ряды относительно жх, ... , хп с коэффициентами, являющимися периодическими аналитическими функциями от t с периодом т, причем эти ряды не будут содержать свободных членов. Таким образом, наряду с формальной группой преобразований, мы получаем соответствующие формальные уравнения. Здесь необходимо особенно подчеркнуть, что обычные законы композиции преобразований и вывода соответствующих дифференциальных уравнений применимы для случая расходящихся рядов совершенно так же, как
72
Глава 3
и для сходящихся. Это непосредственно следует из того, что если мы оборвем формальные ряды на каком-нибудь члене высокой степени, то для получившихся таким образом действительных преобразований и действительных дифференциальных уравнений эти формальные законы имеют место. Когда мы будем присоединять члены все более и более высокой степени, то на члены более низкой степени в правых частях получающихся дифференциальных уравнений это не будет влиять.
Переходя к формальному предельному случаю, мы заключаем, что обычные, чисто формальные соотношения будут оставаться в силе и в случае расходящихся рядов.
Во многих случаях бывает выгодно несколько видоизменить вышеуказанную формальную группу так, чтобы некоторые пары переменных Xi, Xj были связаны особым образом; так, например, бывает выгодно ввести пары сопряженных переменных
С = т1 = Xi - Xj v/^L
причем xi и Xj тогда и только тогда вещественны, когда ? и г] — сопряженные комплексные переменные. В то же время преобразование координат ... , хп в х\, ... , хп может быть выражено как преобразование сопряженных пар rj в соответствующие новые пары rj. Участвующие в этом преобразовании ряды должны тогда обладать тем свойством, что если сопряженным парам, подобным г/, дать сопряженные комплексные значения, а остальным переменным дать вещественные значения, то же будет иметь место и для преобразованных переменных. Если мы возвратимся к преобразованиям прежних координат, то это условие будет означать, что новые переменные х\, ... , хп должны быть вещественными, если ... , хп вещественны.
Нетрудно определить характерные свойства формальных рядов, определяющих преобразования подобных пар сопряженных переменных. Если преобразования первоначальной группы написать в виде:
Xi = Мхи 2/1, , xs, ys, x2s+i, • • • , Хп),
Уг = gi(x 1, Уц . . . , Xs, ys, X2s+1, ... ,Zn) (t = 1, . . . , s),
Xi = hi(x 1, 2/1, ... , xs, ys, X2S+1, ... ,xn) (i = 2s + 1, ... , n),
где x±, г/i, ... , xs, ys суть s пар соотнесенных переменных, то сопря-
женные переменные будут выражаться формулами
?,i — %i Vi V 1 ? f]i — yi\/ 1 (t — 1, ... , s),
и аналогичными формулами будут выражаться ?•, fj{ через Х{, yit
Формальное рассмотрение динамических систем
73
Отсюда получаем
с - г /^1+^1 -Jh Kl 2 ’ 2^1
+ е.(к±Ж + 2 2\/—Т ’
для г — 1, ... , s и подобные же формулы для гц (i = 1, ... , 5) и для Xi (ъ = 2s + 1, ... , п) в новых переменных. Очевидно, что ряды, стоящие в правой части, обладают всеми свойствами преобразований формальной группы, за исключением лишь того, что их периодические коэффициенты будут, вообще говоря, комплексными.
Рассматривая внимательнее эти ряды, мы тотчас же заметим, что они обладают следующим дополнительным характеристическим свойством. Если мы переставим в каждой паре сопряженные переменные rji в рядах для 7]i, Х{ и одновременно заменим все коэффициенты на сопряженные, то ряды для & (г = 1, ... , з) перейдут в ряды для r]i, и наоборот, в то время как ряды для х% (г = 2s + 1, ... , п) останутся без изменения.
