Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим прежде всего, что пока мы будем рассматривать эти уравнения в окрестности какой-нибудь точки соответствующего п-мерного пространства, не являющейся точкой равновесия системы, нельзя будет найти никаких специальных характеристик для этих типов уравнений.
В самом деле, если мы возьмем какую-нибудь динамическую систему, определенную п уравнениями:
^ = Xi(x 1, хп) (г = 1, ... , п),
то она перейдет в систему того же вида при любом преобразовании переменных
Хг = ... ,Уп) (г = 1, ,п)
при известных условиях. Две такого рода системы будут, естественно, называться «эквивалентными», если можно перейти от одной из них к другой посредством допустимого преобразования переменных указанного типа. Если мы сосредоточим наше внимание на окрестности какой-либо точки х... , , в которой не все обращаются в нуль,
так что она не есть точка равновесия системы, то такая система будет эквивалентна любой другой подобной системе, так что мы сможем перейти к уравнениям:
Это легко можно показать следующим образом. Представим себе, что данная система дифференциальных уравнений определяет стационарное течение жидкости в пространстве с координатами ... , хпу
68
Глава 2
так что кривые движения жидкости даются решениями х,{ = X{(t) (г = 1, . ..,п). Эти кривые, имеющие в каждой точке определенное направление, с направляющими косинусами, пропорциональными Xi, ... , Хп могут быть деформированы в прямые линии
У1 = hз У2 = с2, ... , Уп = (‘п
пространства с координатами yi, ... , уп посредством одно-однознач-ного аналитического преобразования. Следовательно, преобразованные уравнения имеют общее решение:
У\ = t + Ci, У2 = С2? • • * ? Уп — Сп,
откуда тотчас же следует, что эти уравнения имеют требуемый нормальный вид:
^1 = 1 = <1уп _ ,,
dt ’ dt dt
Следовательно, в окрестности точки, не являющейся точкой равновесия, нет никакой существенной разницы между уравнениями, выведенными из вариационного принципа, и самым общим видом дифференциальных уравнений.
В следующей главе мы увидим, что вариационные принципы имеют большое значение в вопросах, связанных с формальной устойчивостью динамических систем вблизи точки равновесия, или периодического движения. И можно даже сказать, что в этом состоит их главное значение для динамики. Здесь надлежит сделать еще одно интересное замечание относительно вариационных принципов. Предположим, что мы исходим из п произвольных уравнений вида
^ = Xi(x!, ... , хп, t) (г = 1, ... , п). (11)
Уравнения вариации будут:
Они могут быть проинтегрированы, если мы знаем общий интеграл уравнений (11):
Xi = fi(t, Cl, ... , сп) (г = 1, ... , п).
Вариационные принципы и их применение
69
Решение уравнений вариации будет:
^ М + ... + * М и -1 п)
у'~ 1 да + пдсп ( 5 ••• ’ j‘
где fci, ... , кп — произвольные постоянные.
Соответственно этому система уравнений, сопряженная с уравнениями вариации,
dzi dXj с л \
zL (г = ’ * *' ’ п)
dt ^ дх з=1
имеет интегралы
Ofi , , dfn _h г _л \
о z± ~ zn — \i — 1, ... , n).
dci dci
Следовательно, данную систему (11) дифференциальных уравнений первого порядка можно назвать «эквивалентной» расширенной системе (11), (12) тоже первого порядка с 2п переменными х1у ... , жп, 2i, ... , zn, так как решение одной из этих систем дает решение другой. Но расширенная система (11), (12) есть система Гамильтона с сопряженными переменными Z{ и с главной функцией, равной
т
H=-Y,XJZJ,
3 = 1
в чем мы можем убедиться непосредственно.
Эти замечания должны показать нам, с какой осторожностью следует подходить к вопросу об истинном значении вариационных принципов в динамике.
Глава 3
Формальное рассмотрение динамических систем
§ 1. Вводные замечания. В предыдущей главе было указано, что система обыкновенных дифференциальных уравнений
не имеет инвариантов по отношению к группе всех одно-однозначных аналитических преобразований
при условии, что мы ограничимся рассмотрением окрестности какой-нибудь точки хЭто было показано в предположении, что Xi суть аналитические функции и что они не обращаются в нуль одновременно в точке х®.
Простейший случай, в котором можно ожидать появления инвариантов, это — случай, когда х® суть точка равновесия системы, для чего требуется, чтобы все Xf = 0 (i = 1, ... , п).
Другой важный случай, который можно рассматривать как обобщение первого, представится, если мы будем рассматривать наши уравнения в окрестностях некоторого периодического решения с периодом г:
= Xi(xi, ... ,хп) (i = l, ... ,п)
(1)
Xi = ipi{x 1, ..., хп) (i = 1, ... , п)
(2)
Xi = fi{t) (i = l,...,n). Если мы теперь напишем
Хг = fi(t) + Xi (г = 1, ... , п),
то уравнения (1) примут более общую форму:
или, опуская для простоты черточки над Х{ и Х{\
= Хг(хг, ... , хп, t) (*'= 1, , п),
(3)
Формальное рассмотрение динамических систелъ
71
где Xi суть аналитические функции от х\, ... , хп и t — периодические относительно t, с периодом т, совпадающим с периодом рассматриваемого движения, и обращающиеся в нуль в точке х\ = ... = хп = 0 для всех значений t. Мы рассмотрим вопрос об инвариантных характеристиках для «обобщенной проблемы равновесия», определенной системой уравнений этого последнего вида (3).
