Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Легко видеть также, что вышеприведенный вариационный принцип приводит к тем же уравнениям и в том случае, когда функции L и Н содержат время t.
Обратно, всякую систему Гамильтона (5)? (6)? где Н — произвольная функция, можно привести к системе Лагранжа.
Для доказательства этого утверждения нам достаточно определить L посредством формулы
т
L(qi, ... , (/ш, fi, ... , vm) = —Н + ^ уPj^j•
з=1
где pi, ... , рт суть функции от qi и п, определяемые в неявном виде из уравнений
ri = Wi =
Очевидно, лагранжева система, имеющая эту функцию L в качестве главной функции, будет связана требуемым образом с данной функцией Н.
Если Н содержит t, то L будет, разумеется, тоже содержать t, и те же рассуждения останутся в силе.
§ 11. Преобразование уравнений Гамильтона. Вариационный принцип (5) замечателен тем, что из производных р'1?... ,p'm, q[,... , только q[, ... , содержатся под знаком интеграла, и притом, линейно, и имеют коэффициентами как раз сопряженные переменные. Преобразование координат pi, ... , qm в новые рх, ... , qm дает форму, линейную относительно р'х, ... , q'm, но, вообще говоря, не такого вида. Мы рассмотрим в следующем параграфе получающийся таким путем тип уравнений — так называемые пфаффовы уравнения, которые имеют некоторые преимущества перед уравнениями Гамильтона.
Общий вид «контактного преобразования», сохраняющего каноническую форму уравнений, будет:
Вариационные принципы и их применение
65
где К — произвольная функция от </i, ... , qm, <fl7 ... , q'm и t, подчиненная только условию, что она должна действительно давать преобразование координат pi, ... , qm в новые ... , qm при помощи приведенных уравнений. Мы не будем объяснять здесь смысл этих на вид искусственных формул замены переменных, а перейдем прямо к доказательству того, что подобное преобразование действительно сохраняет каноническую форму уравнений. Посредством первых га из этих формул мы придаем вариационной задаче следующий вид:
где независимыми переменными теперь считаются р1у ... , qm. Но для тех же переменных имеем:
так как выражение под знаком интеграла есть полная производная. Вычитая из верхней формулы нижнюю и применяя последние га уравнений (7), получим:
Преобразование вида (7) с произвольной функцией К, действительно дающей преобразование переменных, сохраняют гамильтонову форму уравнений с главной функцией Н = Н + дК/dt.
Подобным же образом мы можем написать
и получить такой же результат.
Преобразования (8) тоже сохраняют гамильтонову форму уравнений с главной функцией Н = Н + ЭК/dt.
Достоин внимания тот факт, что преобразования типа (8) составляют группу. В самом деле, эти преобразования характеризуются тем,
Pi = ЯГ’
дК
дЧг
(8)
66
Глава 2
что выражение
771
^(Рз А(1з + 4j dPj)
3 =1
есть полный дифференциал dK. Для второго такого преобразования от pi, ... , qm к pi, ... , qm имеется второй подобный дифференциал dK. Складывая, получаем:
771 Ш
Y^iPj d(U + % <§j) = d(K + K- ^2PjQj),
3=1 3=1
так что сложное преобразование принадлежит к тому же типу. Подобным же образом преобразование, обратное преобразованию (7), или результат нечетного числа подобных преобразований, дает преобразование того же типа, в результате четного числа преобразований типа (7) дает преобразование типа (8)1(1)(10).
§ 12. Уравнения Пфаффа. Очевидно, что уравнения Гамильтона можно рассматривать как частный случай уравнений, вытекающих из более общего вариационного принципа Пфаффа:
t1
6
to 3—1
11 п
I [X] ^Pj + Q\ dt = 0? (9)
в котором подынтегральное выражение представляет собою линейную функцию от производных р^, с коэффициентами Pi, ... , <5, которые
являются произвольными функциями от pi, ... , рп, причем п — четное число (п = 2т).
Если мы представим в явном виде получающиеся уравнения, то будем иметь:
few, <* = 1'•••'”)• <10>
Эти уравнения, очевидно, представляют собою выродившиеся уравнения Лагранжа с L2=0, Li=^ Pjpp L0=Q, так что мы имеем интеграл вида Q = const, который для уравнений Гамильтона обращается в интеграл энергии.
1 Приложения теории контактных преобразований и теорию соответствующих гамильтоновых уравнений в частных производных читатель может найти у Whittaker, Analytical Dynamics, гл. 10, 11, 12.
Вариационные принципы и их применение
67
Эти уравнения сохраняют свою форму при произвольном преобразовании переменных. Нужно только прямой подстановкой переменных найти точное выражение линейной дифференциальной формы под знаком интеграла. Таким образом, пфаффовы уравнения допускают совершенно произвольные подстановки и в этом отношении значительно удобнее как лагранжевых, так и гамильтоновых уравнений.
§ 13. О значении вариационных принципов. Так как вариационные принципы играют большую роль в динамической теории, интересно выяснить их истинное значение для динамики. Иными словами: какими специальными свойствами обладают уравнения Лагранжа, Гамильтона и Пфаффа, получающиеся из соответствующих вариационных принципов, рассмотренных выше?
Все эти типы уравнений можно рассматривать как системы п=2т¦ уравнений первого порядка, если в уравнениях Лагранжа мы введем новые переменные = q[.
