Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Из любого формального решения (5) уравнений (3) мы можем получить всякое другое решение Х{ = G{(t, c?i, ... , dn) посредством подстановки в (5) вместо ci, ... , сп произвольных вещественных рядов по di, ... , dn? с постоянными, не зависящими от t коэффициентами
при единственном условии, что определитель \dip/ddj\ не обращается в нуль при di = ... = dn = 0.
Это почти очевидное обстоятельство можно просто доказать при помощи введенной нами расширенной группы. Два преобразования
Х{ — Fi{t) Z\, ... , ?n), Xi — Gi{t, t^i, ... , wn) (i — 1, ... , 7i) превращают уравнения (3) соответственно в уравнения
обозначив через ipi преобразование переменных z непосредственно в cj, то мы видим сразу, что
С* = <Pi(di, .... d,n) (г = 1, ,п)
Следовательно, если мы напишем:
Zi = , Ш1, ... , шп) (г = 1, ... , п),
j=1
так что функции <pi, ... , (рп не содержат переменной ?, т. е.
Zi = <pi(u> 1, ... ,шп) (г = 1, ... , п).
Формальное рассмотрение динамических систелъ
77
Таким образом, получаем формальные тождества
Fi ф1 ч • • * ? фп) — i ? • * • ; d7l) (i — 1, . . . , Ti),
причем в (fi, ... , (рп мы должны подставить di, ... , dn вместо Cc^i, ... , и;та. Но это как раз и есть соотношение, которое мы хотим доказать. Очевидно также из определения обобщенной группы, что определитель \d(fi/ddj\ не равен нулю при d\ = ... = dn = 0.
Вопрос о существовании формальных решений может быть легко разрешен. Действительно, возьмем с\ — ... , сп = где х® есть
значение Х{ при t = to. Тогда, как было доказано в первой главе, общее решение
хi = Fi(t, Cl, ... , Сп) (г = 1, ... , п)
будет аналитической функцией от ci,... , сп для |с*| малых (г=1,... , п) при всяком ?, лежащем в i-интервале, для которого F{ определена при ci = ... = сп = 0. Но при этих значениях с* решение будет Х{ = 0 (г = 1, ... , п) для всех значений t, откуда следует, что решение представляет собою аналитическую функцию ci, ... , сте, t для любого t при условии, что все \с{\ будут тогда достаточно малы. Таким образом, функции Fi могут быть разложены в ряды по степеням ci, ... , сте, коэффициенты которых — аналитические функции t для всех значений t. Кроме того, имеем, очевидно, при t = to
BF
= $ij ($ij = !; hj = 0, если i ф j).
Следовательно, (i = 1, ... , n) составляют n линейно незави-
OCj
симых решений уравнений вариации при j = 1, ... , п, и определитель \dF{/dcj\ не обращается при ci = ... = сп = 0 в нуль ни при каком значении t.
Существуют формальные решения всякой системы (3).
Очевидно, что если мы введем сопряженные переменные способом, указанным в предыдущем параграфе, то формальные решения соответственно видоизменятся.
Значение формальных решений будет выяснено в следующей главе. Здесь же достаточно указать, что такие решения применяются в астрономических задачах, когда нужно вычислить возмущения периодического движения.
§ 4. Проблема равновесия. Как указано выше (§ 1), простейший подлежащий нашему рассмотрению случай — это случай обычной точки равновесия. В этом случае функции Xi7 ... , Хп не содержат t в
78
Глава 3
явном виде. Рассматривая этот случай, мы можем ограничиться теми преобразованиями формальной группы, которые не содержат времени t.
Уравнения вариации принимают вид:
(* = 1, , га),
3 = 1
где постоянные с^* суть значения, принимаемые выражениями dXijdxj в начале координат. Прежде всего, мы остановимся на случае, когда п корней mi, ... , тп характеристического уравнения
\cij — m5ij\ = Q (6)
не связаны никаким соотношением вида
hmi + ... + гпшп = 0, (7)
где г*1, ... , in — целые числа, не равные одновременно нулю. Эти корни либо все вещественны, либо же некоторые вещественны, в то время как остальные комбинируются в пары сопряженных комплексных корней. Нужно отметить, что условие, наложенное нами на корни mi, ... , тп [отсутствие соотношений типа (7)], исключает корень, равный нулю, и, следовательно, определитель \dj\ отличен от нуля.
Легко видеть, далее, что мы можем построить такую квадратную таблицу hj (г, j = 1, ... , гг), что: 1) для каждого к существует такое г, что Uk 0; 2) для каждого к числа ?i&,... , /п& удовлетворяют п однородным линейным уравнениям:
п
^ ^ к — likWlk- (8)
3 = 1
Действительно, это следует из того обстоятельства, что определитель системы (8) есть как раз левая часть уравнения (6), в котором т заменено на т*., и, следовательно, он равен нулю.
Кроме того, определитель \lij\ отличен от нуля, что, разумеется,
хорошо известно из обычной теории линейных преобразований; тем не
менее, для полноты изложения мы приводим здесь этому доказательство. Действительно, предположим противное, т. е. что \Uj\ = 0; тогда существуют такие множители pi, ... , рп, не равные одновременно нулю, что
п
^ ^ hjPj — 0 (г = 1, ... , п). з=1
Формальное рассмотрение динамических систем
79
Умножая уравнения (8) на pk (к = 1, ... , п) и складывая их, получим:
п
О = ^ 1%к^кРк-к=1
Таким образом rriipi (г = 1, ... , п) представляют собой другую систему подобных множителей. Повторяя то же рассуждение, мы убедимся последовательно в том, что pi, пцр(, rriipi, ... образуют системы подобных же множителей. Далее, так как линейная комбинация множителей дает тоже систему множителей, то мы видим, что вообще
