Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Первое различие, на которое мы обратим внимание, заключается в том очевидном обстоятельстве, что в уравнениях вариации вместо постоянных Ъц, Cij появляются периодические функции от i с периодом т. Второе различие состоит в том, что постоянные Сц, Dij, появляющиеся в решениях этих уравнений, тоже должны быть заменены периодическими функциями t.
Все эти изменения, однако, нисколько не влияют на рассуждение, доказывающее, что множители разбиваются на га пар
где Ai, ... , Аш — вещественные или чисто мнимые количества(13).
Точка равновесия общего типа может быть и здесь определена как такая, для которой между га + 1 количествами Ai, ... , Am, 27Гл/^Т/т нет никакого линейного соотношения с целыми коэффициентами^4).
В соответственных линейных преобразованиях dij, eij, Ду, gij — периодические функции от t с периодом т. Такими же функциями являются количества Ьц, Мц, Nij, Rij, Sij, Тц в вариационных формулах. Определяя вид этих функций, как мы это делали выше, мы получим условия вида:
Pi =
где
ш
к = +^
з=1
98
Глава 3
Если мы переменим местами % и к в этой формуле и вычтем из одной формулы другую, то получим:
Kik) - (Хк + Лi) {Kki Kik) = 0.
Это дифференциальное уравнение относительно {Kki — Kik) не имеет отличных от нуля периодических решений периода г, благодаря условию, наложенному на Ai, ... , Ат. Отсюда мы заключаем, как прежде,
что Kki и Kik равны между собою, а 2Rik = — .
Но в этом случае выражение
т
Y, K3kPjP'k
j, к=1
можно превратить в полную производную, прибавив к нему
1 dKjk
2 Ъ
j, к=1
причем это же выражение мы можем прибавить к Н. Таким образом, очевидно, что мы можем принять
Kij = Nij = Rij = Tij = 0
подобно тому, как прежде. Подобными небольшими изменениями предыдущих рассуждений можно показать, что это линейное преобразование приведет к такому же нормальному виду для Н2 в проблеме обобщенного равновесия, как и в проблеме обыкновенного равновесия.
Для того, чтобы сделать очевидным, что мы можем совершить преобразование #3, #4? • • • совершенно аналогично тому, как мы делали в случае точки обыкновенного равновесия, рассмотрим новое if3, получаемое в результате преобразования
_ , дКъ _ , дК3 ч
Pi=Pi "9gT’ Qi = Qi ~dfT {г=
где К% — однородный полином третьей степени относительно р-, qi (г = 1, ... , га), коэффициенты которого суть периодические функции t с периодом т. Новый вид Н% будет:
Формальное рассмотрение динамических систем
99
Рассматривая члены
С(ФГ • • • 9mm , h{t)pT • • • ЧшП («1 + • ' • + Рт = 3)
К3* и 7?з соответственно и стремясь уничтожить подобный член в новом if3, мы придем к уравнению:
Это обыкновенное неоднородное линейное уравнение первого порядка имеет одно и только одно периодическое решение периода т, так как
коэффициент при с несоизмерим с в силу условия, наложен-
ного на Ai, ... , Аш. Таким образом, мы можем уничтожить все Н3.
Подобно этому, можно уничтожить все члены #4, за исключением тех, которые могут быть выражены только через произведения (i = 1, Коэффициенты же этих последних членов мы
можем сделать постоянными числами; действительно, это требование приводит к уравнению вида
где С — произвольная постоянная, выбор которой зависит от нас. Из этой формулы находим для с значение
которое будет, очевидно, периодическим периода т, если за С мы выберем среднее значение h(t) в промежутке (0, т). Отсюда мы приходим к тому же заключению, что и прежде, а именно:
Посредством такого ряда преобразований переменных в обобщенной гамильтоновой проблеме равновесия гамильтонова функция может быть приведена к такому же нормальному виду, что и для случая обычного равновесия1.
Результаты, изложенные в этой главе, были сообщены в моих «Chicago Colloquium» лекциях в 1920 г. До сих пор изложенный материал стоит, очевидно, в тесной связи с предшествовавшими работами. В частности нормальная форма уравнений Гамильтона связана с формальными тригонометрическими рядами в динамике, рассмотренными, например, у Whittaker, Analytical Dynamics, гл. 15.
| + ад = с,
(С - h(t)) dt,
100
Глава 3
§ 10. О пфаффовых множителях. Перейдем теперь к рассмотрению более общей пфаффовой вариационной проблемы
которая приводит немедленно к системе обыкновенных дифференциальных уравнений порядка 2га:
Мы рассмотрим тот случай этих уравнений, когда в начале координат имеется точка равновесия, причем будем предполагать, что 2га аналитических функций таковы, что кососимметрический определитель
отличен от нуля в начале координат. Постоянные члены в рядах для функций Х{ могут быть всюду опущены.
Уравнения Гамильтона, очевидно, являются частным случаем этих пфаффовых уравнений (12).
Как будет показано в следующей главе, эти обобщения уравнений Гамильтона разделяют с последними то важное свойство, что для них автоматически выполняются все условия полной устойчивости, если только они удовлетворяют очевидным условиям устойчивости первого порядка. Следовательно, с этой точки зрения пфаффовы уравнения являются столь же важными для динамики, как и гамильтоновы, хотя первые принадлежат к более общему типу и, кроме того, имеют одно дополнительное преимущество, а именно: они сохраняют свою пфаффову форму при любом преобразовании переменных, принадлежащем к формальной группе. В самом деле, достаточно только произвести замену переменных под знаком интеграла в формуле (12), чтобы получить преобразованные значения функций и Z.
