Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Pi = \fpiPi, <li = \fPi4i-
где
Pi — Pi + Pi2 + • • • , Qi — * + Qi2 + • • • (г — 1 , ... , m),
m
Pi-Pi, Qi-Qi {i = l, ... ,m),
104
Глава 3
и мы получим полную гамильтонову форму в случае, если pi, ... , qm суть вещественные переменные. Небольшое изменение этого метода сделает его пригодным для случая, когда р*, не являются вещественными.
В случае вещественных переменных положим
Pi=Pi, Qi = 4i +Gi2{p1, ... , qm) (г = 1, ... , га),
где согласно нашим обычным обозначениям Gi2 есть однородный квадратный полином относительно своих аргументов. Вариационная формула принимает в этом случае вид, в котором новый коэффициент Pj имеет по-прежнему член первой степени р^, в то время как новые Qi мы легко можем выразить в виде рядов
m QQ .
* + Qi2 + У^/Pj + • • • (i = 1? • • • 5 ш). j=i Pi
В этом выражении отсутствуют члены первой степени, в то время как члены выше второй степени явно не выписаны.
Далее имеем:
тп m m nf-s, m
d(^PjGi2) = + G™) dpk + jr Pj^?-dqk.
j=1 k = l j=l j,k=1
Это тождество показывает, что, вычитая полную производную под знаком интеграла, мы можем привести Qi2 к виду Qi2 — Gi2 не вводя новых членов первой степени в Р^. Следовательно, если мы возьмем Gi2 = Qi2 (г = 1, ... , га), то мы можем исключить члены второй степени из Q.
Производя дальнейшее преобразование
Pi=Pi, Qi = Qi + Gi3 (г = 1, ... , га),
мы можем подобным же образом исключить члены третьей степени из Qi. Продолжая таким образом до бесконечности, мы приходим к вариационной форме
Ч Ш
8 / [Y,piQj + * ~ R\ dt = 0’
to j=1
где
Pj — Pj + Pj2 + •
(j = 1, ... , m),
Формальное рассмотрение динамических систем
105
которую можно привести к гамильтоновой форме указанным выше способом.
В случае, если некоторые из пар pi, qi являются сопряженными комплексными числами, мы можем сначала произвести следующее линейное преобразование, переводящее р^ и qi в вещественные переменные:
_Pi + 4i'fzТ _pi-qiVzТ
Pi~ V2 ’ qi~ \/2 ’
так что выражение piq[ перейдет в р^(23) с точностью до полной производной. Таким образом, нормальный вид Pi, Qi сохраняется для этих вещественных переменных. Производя далее над ними вышеуказанные преобразования, мы придем к тому же результату, что и раньше.
Надлежащим преобразованием, принадлежащим к формальной группе
Pi = <Pi(Pi, ••• , <Zm)> Чг = Фг(Рг, • ¦ • , Qm) (i = l, ... ,17l),
общая проблема Пфаффа может быть приведена к гамильтоновой форме.
§ 13. Обобщенная проблема Пфаффа. При таких обстоятельствах естественно ожидать, что пфаффовы уравнения, содержащие время t с точкой обобщенного равновесия в начале координат, допускают формальное приведение к гамильтонову виду. Нетрудно доказать справедливость этого утверждения посредством небольшого изменения предыдущих рассуждений.
В случае такой точки равновесия уравнения можно записать в виде вариационной формулы:
/*г 2т
Xj (^1 ч • • • ? t)Xj Zi^X i, ... , Х2тч j ^ — 0? (1^)
.7 = 1
где Xi (i = 1, ... , га) и Z суть периодические функции от t, или иначе формулами
^(dXi dXj\ dx,j dXi dZ n i 9 ,
3 = 1
v3
Прежде всего очевидно, что множители различны; это следует из рассмотрения того частного случая, когда речь шла об обычной точке равновесия.
106
Глава 3
Кроме того, мы опять можем привести уравнения вариации к нормальному виду посредством линейного преобразования, коэффициенты которого являются периодическими аналитическими функциями t с периодом т. Нормализованные уравнения вариации будут иметь решения
Vi = bikkt (г = 1, , 2ш),
где к = 1, ... , 2т. Отсюда следует, что и для проблемы обобщенной точки равновесия множители разбиваются на пары А*, — А*(21).
То же самое рассуждение показывает, что линейные члены в P*, Qi могут быть частично так скомбинированы в некоторые полные производные, частично включенные в R, что мы придем к такому же, как и прежде, нормальному виду для членов первой степени в Pi, Qi и членов второй степени в R. И, наконец, мы пишем как в § 12:
Pi=Pi, qi = Qi + Gi2 (г = 1, ... ,т),
где Gi2 имеет теперь коэффициентами периодические функции t периода т.
Тогда посредством рассуждений, подобных § 12, мы можем добиться, чтобы Qi2 = 0 для г = 1, ... , га, а затем последовательно = 0 и т. д.
Посредством надлежащего преобразования, принадлежащего к формальной группе, обобщенная пфаффова проблема периодического движения может быть сведена к гамильтоновой форме. Следовательно, нормальный вид гамильтоновых уравнений может служить также и в случае уравнений Пфаффа.
Глава 4
Устойчивость периодических движений
§1.0 приведении к обобщенному равновесию. Для движе-ния вблизи точки равновесия гамильтоновой или более общей пфаффовой системы случай устойчивости естественно определяется как такой, когда множители Ai, ... , Am являются чисто мнимыми количествами и между ними нет никаких линейных соотношений с целыми коэффициентами.
В этой главе мы займемся, однако, не этим вопросом, а несколько более сложным. Это — вопрос об устойчивости движения вблизи какого-нибудь периодического движения такой системы1. Применяемый метод требует приведения к случаю обобщенного равновесия. В более общем случае систем Пфаффа это можно осуществить посредством перехода к новым координатам
