Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Глава 4
Таким образом, мы получаем пфаффову систему четного порядка 2га — 2, коэффициенты которой будут периодическими функциями переменной $ периода 27Г, причем известному периодическому движению соответствует начало координат в пространстве с координатами Ж1, , Х2т — 2*
При этом последнем методе приведения к проблеме обобщенного равновесия мы обходим трудности, указанные в начале этого параграфа.
По этим причинам в приложениях теории мы можем ограничиться рассмотрением случая обобщенного равновесия устойчивого типа, определенного выше.
§ 2. Устойчивость пфаффовых систем. В качестве исходного пункта наших рассуждений мы возьмем уравнения движения, частично нормализированные вплоть до членов некоторой степени s посредством надлежащего преобразования, определенного сходящимися рядами по способу, изложенному в предыдущей главе. Таким образом, уравнения будут иметь вид:
dpi _ дНп , Т ~dt~~d^Pt + Lt's+u
dQi _ дНп , м
И -d^qi + Mi's+1
(г = 1, ... , то),
(1)
где для Н можно написать выражение
Н — ^ ^ ^jPjQj ^4 Н- *' ’ Н- H-g (s — s или s “Н 1),
3=1
в котором Нк — однородные полиномы степени к/2 относительно га произведений 7Г* = piqi, в то время как Li^s+1, являются сходя-
щимися степенными рядами относительно pi, ... , qm, которые начинаются с членов степени не ниже s + 1 и коэффициенты которых, разумеется, суть аналитические периодические функции от t периода т. Положим
=
3 = 1
Очевидно, мы можем сказать, что и определяет в известном смысле расстояние точки от положения равновесия в любой момент Ц в самом деле, если мы выразим и2 через первоначальные вещественные
Устойчивость периодических движений
111
переменные ... , #2m, то получим вещественный степенной ряд относительно #i, ... , Х2ту начинающийся с положительной определенной квадратичной формы(8), т. е.
2т
j,k=1
для всех t, откуда
2т 2т
к ^ х2 ^ и2 ^ К xj (К > к > 0) з=1
в некоторой окрестности начала координат.
Очевидно теперь, что мы можем выбрать N настолько большим,
что
\LitS+1\, \MitS+1\<^Nus+1 (г = 1, ... , т)
на достаточно малом расстоянии от начала координат.
Умножая первое из частично нормализированных уравнений (1) на qi, а второе на pi, и складывая, мы заключаем, что
d7Ti
dt
^ 2Nu8+2 (г = 1, ... , га).
Отсюда и из определения и следует неравенство
du
'dt
& mNu9+2
или, что то же самое,
-mN s? mN.
^ us+1 dt ^
Интегрируя по t в пределах от to до t, мы получаем из последнего неравенства
' 1 1
^ msN\t — to|.
Исследуем вопрос, в какой промежуток времени и сможет превзойти 2uq. Для соответствующего t мы должны иметь
< msN\t — to\.
Uq 2s Uq
112
Глава 4
Отсюда очевидно (так как s ^ 1), что и не может превзойти 2uq,
пока
2msNuQ
(2)
Иначе говоря, наименьший промежуток времени, который должен пройти прежде, чем начальное расстояние щ удвоит свою величину, будет порядка s относительно 1/щ.
В течение этого же промежутка времени мы будем иметь
d'Ki
dt
«С 2s+3Nus0+2,
откуда, интегрируя, получаем:
- тг°| ^ 2S+3NMo+2|t - to\ (i = l, ... , га). (3)
Принимая во внимание, что Н и его частные производные суть полиномы, находим
дН дН°
dn, dn,
<Г PJ2 К - I ^ 2s+3mNP Uq+2 11 - to I
3 = 1
для малых 7Т{У 7Г°. С другой стороны, из нормализированных дифференциальных уравнений имеем в этом интервале:
dpi дН dt dn,
Pi
dqj ЭН dt дл;
Qi
^ 2s+1Nus0+1 (i = 1, ... , m).
Комбинируя эти неравенства с предыдущей группой неравенств, получаем
dPi | дН° dt dni ъ
dqi дН°
dt
d'Ki
Qi
<Г 2s+1Nus0+1 + 2s+4mNPus0+3\t - t0\
для i = 1, ... , ш. Эти неравенства по существу эквивалентны следующим:
<; 2s+1Nus0+1 + 2s+4mNPus0+3\t - f0|,
где 7i = дН°/d'Ki суть чисто мнимые количества. В том обстоятельст-ве, что Н и его частные производные по 7гг- — чисто мнимые количества, легко убедиться следующим образом: если мы поменяем местами в
Устойчивость периодических движений
113
уравнениях (1) pi, qi (i = 1, ... , га) и заменим if сопряженным с ним выражением, то эти уравнения перейдут сами в себя. Но это значит, что выражение, сопряженное с Н, совпадает с —Н, т. е. что Н есть чисто мнимая функция(9). Интегрируя предыдущие неравенства, получаем
|® - ^e7i(i“to) | < 28+1Nus0+1\t - t01 + 2s+3mNPus+3\t - t012 (4)
для % = 1, ... , га.
Если мы теперь вернемся к сходящимся степенным рядам, выражающим Xiy ... , Х2т через величины pi, ... , gm, и если мы заменим в этих рядах pi, ... , qm на
„О p7TO(i-i0)
PlC , . . . ,
соответственно, то полученные ряды совпадут с формальными рядами, дающими решение вплоть до членов степени (з + 1) относительно 2га произвольных постоянных р?,... , </™(10). Но совершаемая при этом ошибка будет порядка разностей, составляющих левую часть неравенства (4). Следовательно, если мы выразим a?i, ... , Х2Ш посредством формальных рядов, являющихся решениями, полученными из нормального вида оборванных на членах порядка s относительно 2га произвольных постоянных р5, ... , то в течение промежутка времени (2) совершённая ошибка не будет превосходить по абсолютной величине выражение
Aus0+1 + Bus0+1\t -t0\+ Cus0+3\t -t0\2,
