Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Наше первое замечание будет заключаться в том, что, вообще говоря, все множители этой системы различны между собою. Для того, чтобы убедиться в этом, достаточно дать пример подобной системы, имеющей 2т различных показательных решения. Если мы примем
где Sij имеют свое обычное значение. Следовательно, в этом случае 2т множителей будут иметь величины, равные ±//&у^Т (к = 1, ... , ш),
т
j, k=1
3 = 1 3 =1
т
Н-2 = X/ + Qj),
3 = 1
то уравнения вариации приведутся к виду:
с 2т частными решениями
Формальное рассмотрение динамических систелъ
87
и будут различны, если, например, /ii, ... , /im будут различными положительными количествами.
Прежде чем оставить этот частный случай, заметим, что если Н2 имеет только что приведенный вид, то мы можем ввести сопряженные переменные
& = Pi + qi, гц =Pi- (s' = 1, , to),
и тогда легко найдем:
dt drji dt d^i
где H = —2\/—1Н и Н2 принимают нормальный вид:
т
Н2 = — fjj л/l^j fjj •
i=i
Следовательно, при таком преобразовании переменных гамильтонова форма дифференциальных уравнений сохраняется. В этом случае уравнения вариации еще проще, а именно, они имеют вид:
^ ^ = -fiiV^rji (г = 1, , то).
Этот тип сопряженных переменных будет играть важную роль в дальнейшем.
Предположим теперь, что мы имеем дело с общим случаем, когда все 2т множителей различны между собою. Мы хотим доказать, что эти множители можно разбить на га различных пар, каждая из которых состоит из множителей, равных по величине и противоположных по знаку. Мы уже видели, что это имеет место в вышеприведенном примере.
Так как все множители по предположению различны, то существует полная система решений уравнений вариации
Р\кч * • • 5 Ртк5 Qiki * • • 5 Qmk {к — 1? *.. , 2га)
вида
Р%к — к , Qik = к = 1? • • • ? к = 1, ... , 2га),
причем определитель порядка 2га, составленный из постоянных С**, не равен нулю.
88
Глава 3
Такая полная система частных решений обладает тем свойством, при котором самое общее решение нашей системы дифференциальных уравнений вариации может быть представлено как линейная комбинация этих частных решений.
Но если Pi, Qi и Р^, Qi* будут два любых решения уравнений вариации, то имеет место формула:
т
- PjQ}*) = const.
3 = 1
Для того, чтобы убедиться в справедливости этого равенства, достаточно продифференцировать левую часть его по t и затем, применив уравнения вариации, убедиться, что производная левой части по t тождественно обращается в нуль.
Если мы теперь подставим в это соотношение какие-нибудь два из вышеприведенных частных решений, то получим
т
Х(DjkCji - CjkDji)e(-Xk+Xl)t = const
3=1
для всех к и L Отсюда непосредственно следует, что либо А& + А; = О, либо постоянная, стоящая в правой части, равна нулю, что дает нам возможность обосновать доказываемое положение.
В самом деле, если каждое А^ имеет соответствующее A j, такое, что А^ + A j = 0, то, очевидно, такое A j может быть только одно. В противном же случае какой-нибудь корень А&0 не имеет соответствующего ему, дающего с ним в сумме нуль, но тогда из вышеприведенного соотношения следует, что его левая часть должна обращаться в нуль при I = 1, ... , 2га, когда к принимает значение откуда находим:
DlkoCu + ... + Dmk0Cmi C±k0D±i ... Стк0Djjii—О (J—1 ? • • • ? 2m).
Эти 2m уравнений линейны и однородны относительно Di*.0,..., Dmkо, — Cifc0, ••• , —Стко, так что определитель, составленный из их коэффициентов, должен быть равен нулю.
Но этот определитель есть как раз вышеупомянутый определитель порядка 2га, не могущий обращаться в нуль. Следовательно, такого множителя А&0, не имеющего пары, не существует.
Вообще говоря; в точке равновесия для уравнений Гамильтона множители могут быть разбитыми на т пар А— А^ (i = 1, ... , т)7 причем все Ai различны между собою(5).
Формальное рассмотрение динамических систем
89
Очевидно, что, вообще говоря, множители либо вещественны, либо могут быть объединены в комплексные сопряженные пары с различными модулями.
Следовательно, множитель, сопряженный с комплексным, должен совпадать с обратным ему по знаку множителем. Переходя к исключительным случаям посредством предельного перехода, мы заключаем:
Множители \ представляют собою вещественные или чисто мнимые количества(6).
Мы определим точку равновесия общего типа, как такую, для которой Ai, ... , Аш не подчинены никаким линейным соотношениям с целыми коэффициентами типа (7), и сосредоточим свое внимание именно на этом общем случае.
§ 7. Нормализация Н2. Предположив, что точка равновесия рассматриваемой гамильтоновой системы есть точка равновесия общего типа, мы можем произвести преобразование переменных
Pi = dijPj + eijqj),
3 = 1
= + Sij4j)
3 = 1
> (г = 1,
которое приведет соответственные уравнения вариации к нормальному виду:
dPi
dt
dQi __ \ гь
“ XiQi
(г = 1,
г).
Действительно, для этого приведения (см. § 4) требовалось только, чтобы корни характеристического уравнения (6) были различны, что, в данном случае имеет место. Разумеется, пары соотнесенных переменных piy ^ соответствуют парам соотнесенных корней А— А*. Если А* вещественно, то — тоже вещественные переменные. Если Ai —
