Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
_ , дКъ _ , дК3 ,
Pi=Pi + -^7’ Qi = qi + ~dp7 (* = 1,
Если решить эти уравнения относительно pi, qi (г = 1, ... , га), то получатся следующие выражения pi, через
*=* + Ж + ~" * = ъ-Ж + "' =
где обозначает функцию, полученную из Кз заменой qi на (/•. Написанные явно члены дают разложения р*, qi в ряды по степеням рд* до членов второй степени включительно. Прямой подстановкой получаем выражение для Н через рь qf.
Я=Я2 (?i+^"++Яз+'"’ где аргументы выражений iJ3, iJ4, ... те же, что и для iJ2- Выписывая явно члены не выше третьей степени, получим:
ЕГ _ ^ Л ^ - I V' л Л ^ З^зЛ , „ ^
Я - + 2_^Xj I Qj~o=-} +Яз(Р1,--- , qm) + •••
j=i j=i V j 3 /
Таким образом, как и следовало ожидать, Н2 сохранило свою форму, a iJ3 приняло вид:
т /
Л? ( Qj
.7 = 1 V
где мы можем выбирать функцию К3 по произволу. Возьмем теперь какой-нибудь член например:
СР11 ¦ • • KTtff1 ...q%r (а1 + ...+/Зт = 3).
Соответствующий член в преобразованном Н3 имеет коэффициент c[Ai(/3i — ai) + . . . + Amiftm — <Хт)\ + h,
Формальное рассмотрение динамических систем
95
где h означает подобный же коэффициент в первоначальном Щ. В этом выражении коэффициент при с не равен нулю, потому что в противном случае было бы
(3\ = GL1, . . . , (Зт = СУШ,
что очевидно невозможно, так как сумма всех щ и j3i равна 3.
Таким образом, мы можем так выбрать все коэффициенты с, чтобы новое Я3 обращалось в нуль.
Продолжая таким же образом дальше, постараемся исключить Н4, насколько это возможно, посредством дальнейшего преобразования, в котором на этот раз Ks = 0 для всех s, кроме s = 4. Мы будем иметь преобразование:
- , дК4* , _ дК4* , ,
Pi = Pi + + • • • , 4i = Qi - -Q=- + ¦¦• (г = 1, ... , m),
которое оставляет Н2 и Н3 = 0 в прежнем виде, но преобразует Нц в
( дК4 дК4\ , „ , ,
' V7'' dqj Vi dPj ) ^Pl' ” • ’ q"l)'
Теперь мы можем тем же способом, как и прежде, уничтожить все члены i/4, за исключением тех, которые содержат pi и qi в одинаковой степени для каждого г, т. е. членов, имеющих вид:
c(PiQi)2 или dpiqipjqj (г, j = 1, ... ,т).
Действительно, мы имеем в этом случае:
а\ + ... + /Зт = 4,
и, следовательно, можно сделать равными нулю коэффициенты всех членов, кроме тех, для которых щ = (3i(i = 1, ... , m), т. е. тех, которые имеют приведенный выше вид.
Легко видеть таким образом, что бесконечным числом шагов мы можем исключить из Н все члены, кроме тех, которые могут быть выражены через т произведений piqi.
Посредством надлежащих преобразований вышеописанных типов гамильтонова система, имеющая в начале координат точку равновесия общего типа, может быть приведена к нормальной гамильтоновой форме, главная функция Н которой является функцией только от т произведений pi</i, ... , ртЦт? причем Н2 имеет вид:
га
3=1
96
Глава 3
Отметим еще, что примененное в предыдущем параграфе линейное преобразование также представляет собою контактное преобразование1, так что фактически к нормальной форме можно придти посредством одного формального контактного преобразования.
Для уравнений в этой нормальной форме мы можем тотчас же получить общее формальное решение. Если мы положим 7Г* = piqi, то нормальные уравнения Гамильтона могут быть записаны в виде:
dpi дН dqi QH ,. , ,
n = s =
откуда получаем
Piqi = ^ (г = 1, ... , m).
Если мы подставим эти значения piqi в написанные уравнения, то ряды дН/дп{ превратятся в постоянные, и мы чисто формальным образом приходим к следующему заключению:
Общее формальное решение нормальных гамильтоновых уравнений в окрестности точки равновесия имеет вид:
Pi = оце~1а, qi = /Зг-е7,:< (i = l, ... ,т),
где
^ = дЩаиЬ..^. , amf3m) = l5 _ ^ ^(12).
Соответствующее решение в прежних переменных может быть получено из только что приведенных формул при помощи формул контактного преобразования, выражающих старые переменные через новые.
§ 9. Обобщенная гамильтонова проблема. Если Pi = (Pi(t), qi = ^i(t) (i = l,...,m) есть периодическое движение периода т и если мы положим
Pi = <fii+ Pi, qi = Фг + Qi (г = 1, , m),
то дифференциальные уравнения в новых переменных будут гамильтоновыми уравнениями с главной функцией Н, равной
т
н = н + '?Ш-‘Ф&),
3 =1
хСм. Whittaker, Analytical Dynamics, гл 16.
Формальное рассмотрение динамических систелъ
97
где штрих обозначает производную. Это преобразование может быть представлено как контактное преобразование
В этих новых переменных Н будет функцией от рг, ... , qm и t периодической (с периодом г) относительно последней переменной, причем решением, соответствующим данному периодическому движению pi = (pi, qi = ijji, будет Pi = q{ = 0 (г = 1, ... , га). Таким образом, по крайней мере в формальном смысле (см. главу IV, § 1) наша проблема приводится к проблеме обобщенного равновесия.
Наша цель показать, в этом параграфе, что для такой проблемы обобщенного равновесия возможно приведение уравнений к некоторому нормальному виду, совершенно аналогичное проделанному выше приведению для случая обыкновенного равновесия.
Мы ограничимся здесь тем, что укажем на все те изменения в рассуждениях, которые требует эта более общая задача.
