Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
В первую очередь для получения нормальной формы уравнений Пфаффа покажем, что множители для этих уравнений так же, как и для уравнений Гамильтона, разбиваются на пары А*, — А*.
Заметим, что в общем случае эти множители должны быть различными, так как они различны для гамильтоновых уравнений, являющихся частным случаем пфаффовых.
0Хг dXj
dxj dxj
Формальное рассмотрение динамических систем
101
Произведем линейное преобразование с постоянными коэффициентами, приводящее уравнения вариации к нормальному виду. Это преобразование, разумеется, сохраняет пфаффову форму уравнений. Соответственные уравнения вариации, получаемые из уравнений (13), будут:
Y^ (_ 92Z
^ V dxj dxi ) dt dxidx^
= 0.
j=i
Они должны иметь частные решения
Vi = SikeXkt (* = 1, ...,2т)
при k = 1, ... , 2га. При этом подразумевается, что в формулах урав-
дХ{
нении вариации значения частных производных —— и т. д. берутся в
3
начале координат.
Подставляя в уравнения вариации написанные частные решения, легко получаем:
fdXj ax Л
\дхк dxi )
\ 92 z -О
— о----о-- —
axidxk
Если мы переменим г и к местами и полученное уравнение вычтем из только что написанного, то получим:
ё^Ш(А‘+Л,)=0
Но если для какого-нибудь к не найдется такого «, чтобы А* + А& = 0, то вышеупомянутый кососимметрический определитель необходимо должен обращаться в нуль. Последнее невозможно, так как уравнения вариации вырождались бы. Следовательно, каждому множителю А* можно всегда сопоставить другой А^ = —А*, но это как раз и есть то, что мы хотели доказать.
В проблеме равновесия для пфаффовых уравнений множители можно разбить на пары так, чтобы множители каждой пары различались только знаком(16). Эти множители можно обозначить через Ai, —Ai, ... , Аш, —Аш. Они должны быть вещественными или чисто мнимыми количествами^1).
Очевидно, мы можем определить общий случай как такой, когда между величинами Ai, ... , Am нет никаких линейных соотношений с целыми коэффициентами, совершенно так же, как в случае уравнений Гамильтона. Мы ограничимся рассмотрением этого общего случая.
102
Глава 3
§ 11. Предварительная нормализация пфаффовых уравнений. Чрезвычайно легко убедиться в том, что примененная в предыдущем параграфе нормализация приводит члены первой степени в Xi, ... , X2m по существу к гамильтоновой форме. Действительно, если мы обозначим 2т зависимых переменных через pi, ... , рш, gi, ... , qm таким образом, чтобы р*, соответствовали множителям А* и — А* соответственно, и если буквы Pi, ... , Qm будут изображать коэффициенты при Pi, ... , q'm соответственно под знаками интеграла в формуле (12), то полученные в предыдущем параграфе соотношения между частными производными dXi/dxj в начале координат принимают вид:
т = щ dQi
dpj dpi ’ dq.j
dPj _ dQj d<ij dpi
Первая система уравнений показывает, что линейные члены Р*, содержащие pi, ... , pm, составляют вместе полную производную, так же как и линейные члены содержащие </i, ... , qm. Подобным же образом из второй системы уравнений следует, что член Рг, содержащий qj, вместе с членом Qj, содержащим р^, образует полную производную. Все эти члены можно опустить, и остается рассмотреть только члены
ш
Y,(ciPj d,H + di(li dPj)-j=i
Эту сумму, очевидно, можно заменить суммой
771
^(с, - dj)pj dqj.
3 = 1
Здесь ни одна из разностей cj — dj не может обратиться в нуль, вследствие сделанного предположения, что основной кососимметрический определитель не обращается в нуль в начале координат.
Если теперь р*, qi суть вещественные переменные, то мы можем произвести дальнейшую линейную подстановку
Pi = Pi, 4i = (^ - di)qi (г = 1, ... , m)
и получим тогда требуемые линейные гамильтоновы члены(18). С другой стороны, если pi, qi — сопряженные комплексные переменные, то
dQj
dqi
(г, j = 1, ... , m),
(г, j = 1, ... , то; г-7? j).
Формальное рассмотрение динамических систем
103
и di тоже будут сопряженными комплексными переменными и C{ — di будет чисто мнимым количеством pi\/^l(19). Мы можем положить тогда
если р > 0(20). Если же р < 0, то мы можем обменять местами pi и q^.
Перейдем теперь к рассмотрению функции Z. Так как мы имеем точку равновесия в начале координат, то, очевидно, что dZ/dpi, dZ/dqi (i = 1, ... , га) обращаются в этой точке в нуль, т. е. что функция Z не содержит членов первой степени. Низшие члены в Z будут, следовательно, второй степени.
Очевидно, что уравнения вариации, которые зависят только от членов первой степени в Ii, ... , и от членов второй степени в Z, будут такими же, как и для уравнений типа Гамильтона. Следовательно, линейное преобразование, применяемое в гамильтоновом случае для получения нормального вида этих низших степеней, приводит и Z2 к тому же нормальному виду.
Мы можем выразить наши результаты следующим образом.
Предварительным линейным преобразованием(21) мы можем привести уравнения Пфаффа с точкой равновесия общего типа в начале координат к виду
§ 12. Проблема точки равновесия для уравнений Пфаффа. После того как проделаны эти подготовительные преобразования, становится уже легко установить основной результат, заключающийся в том, что посредством точечного преобразования, независимого от г, можно привести пфаффовы уравнения к гамильтонову виду. Точнее говоря, можно показать, что возможно привести Qi (i = 1, ... , га) к нулю посредством надлежащей последовательности преобразований, не влияя на нормальный вид Р*(22). Когда это будет сделано, достаточно будет положить просто